«Магнус» и «Магняк»
На олигополистическом рынке магния работают две фирмы — «Магнус» и «Магняк», функции издержек которых одинаковы и имеют вид $TC(q)=q^2$. Если фирмы выберут уровни выпуска $q_1$ и $q_2$, то на рынке установится цена, равная $(9-(q_1+q_2))$. Об этой зависимости цены от выпусков знают обе фирмы. Кроме того, обе фирмы знают функции издержек друг друга.
Подпункты
а)
Промышленные шпионы из «Магняка» выведали, что «Магнус» собирается произвести 5 тонн магния ($q_1=5$). Сколько должен произвести «Магняк», если менеджеры фирмы верят этой информации и стремятся максимизировать прибыль?
б)
На самом деле, информация о выпуске «Магнуса» из пункта а) была искусно подброшенной дезинформацией. Сколько единиц продукции в действительности выгодно произвести «Магнусу», если его менеджеры уверены, что дезинформация «сработала» и «Магняк» выберет уровень выпуска, найденный Вами в пункте а)?
в)
Найдите выпуски фирм, если одновременно выполнены три условия: 1. «Магняк», в отличие от пункта а), не поверил дезинформации «Магнуса». 2. «Магнус» уверен, что «Магняк» поверил дезинформации «Магнуса». 3. «Магняк» уверен, что «Магнус» уверен, что «Магняк» поверил дезинформации «Магнуса».
Решение
а) Если $q_1=5$, то функция прибыли «Магняка» имеет вид: $\pi_2=(9-5-q_2)q_2-q_2^2=4q_2-2q_2^2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее вершина (максимум прибыли) достигается при $q_2=1$. (5 баллов) б) Если, как было найдено выше, $q_2=1$, то функция прибыли «Магнуса» имеет вид: $\pi_1=(9-q_1-1)q_1-q_1^2=8q_1-2q_1^2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее вершина (максимум прибыли) достигается при $q_1=2$. (6 баллов) в) «Магнус» думает, что «Магняк» произведет $q_2=1$, поэтому сам производит $q_1=2$. «Магняк» знает это, поэтому его функция прибыли имеет вид: $\pi_2=(9-2-q_2)q_2-q_2^2=7q_2-2q_2^2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее вершина (максимум прибыли) достигается при $q_2=1,75$. (9 баллов) Задачу можно решать и по-другому, найдя максимальные значения функций прибыли в общем виде, воспринимая для каждой фирмы «чужой» выпуск как параметр (число). Получатся зависимости, показывающие наилучший ответ первой фирмы на действия второй и наилучший ответ второй на действия первой. Дальше можно просто подставлять в эти функции подходящие к каждому пункту «чужие» q. Примечание: Задачу можно решать и по-другому, найдя максимальные значения функций прибыли в общем виде, воспринимая для каждой фирмы «чужой» выпуск как параметр (число). Получатся зависимости, показывающие наилучший ответ первой фирмы на действия второй и наилучший ответ второй на действия первой. Дальше можно просто подставлять в эти функции подходящие к каждому пункту «чужие» q.