X,Y,Z
Существуют две группы потребителей количество человек первой группы равно 100 и функция полезности каждого индивида $U=X*Y$, причем каждый индивид их этой группы может потратить на приобретение товаров X и Y - не более 100 дырок от бублика (денежных единиц), количество человек второй группы равно 50, функция полезности каждого из них $U=X^2*Y$, и каждый индивид тратит на приобретение этих товаров не более 90 дырок от бубликов. Рынок товара X совершенно конкурентный на нём действует 20 идентичных фирм функция издержек каждой $TC=0,125*Q^2+2$, на рынке товара Y действует монополист который имеет два завода функции издержек производства на них равны соответственно $TC1=30*Q1^2-190*Q1+4235$ и $TC2=20*Q2^2-190*Q2+4143$, товар Y субсидируется государством по схеме за первую проданную единицу Y монополист получает 20 дырок от бублика, за вторую в два раза больше, за третью в три, то есть 60, и так далее. Есть ещё рынок товара Z, на нём также действует монополист причём товар X является субститутом товару Z, а Y комплиментом. Спрос на Z описывается формулой $Qz=210-Pz+6Px-Py$, монополист может совершить ценовую дискриминацию назначив разные цены для двух групп покупателей товара Z, группы формируются случайным образом, то есть в буквальном смысле из толпы, возможности арбитража у потребителей нет, Функция его издержек $TC=Q^2$. Какие цены он назначит и какова будет его прибыль при этом.
Ответ
P_л = 100, P_н = 120, прибыль = 2800.
Решение
Так как мы сталкиваемся потребителями функция полезности которых имеет вид функции Кобба-Дугласа, можно без особых усилий вывести уравнения рыночного спроса на товары X и Y, Функция спроса в общем виде выведенная из функции Кобба-Дугласа ($U=X^a*Y^b$) имеет вид X=$\frac{a*M}{(a+b)*P_x}$, таким образом функция одного i-ого потребителя на товар X из первой группы равна $X_i=\frac{50}{P_x}$, умножаем это на число потребителей первой группы получаем $X=\frac{5000}{P_x}$, аналогично делаем туже процедуру для второй группы и складываем получившееся спросы, в итоге получаем что спрос на товар X равен $=\frac{8000}{P_x}$, а Y $Y=\frac{6500}{P_y}$. Находим цену товара X, для этого требуется вывести функцию рыночного предложения. Берем производную для издержек одной конкурентной фирмы получаем $MC=0,25Q=P$, тогда $Q=4P$, а рыночное предложение соответственно $Q_s=80*P_x$, в таких условия равновесная цена $P_x$ будет равняться 10. Потребители потратят на товар Y 6500, при любом неотрицательном выпуске, то есть монополист получает эту сумму в любом случае если он на рынке, То есть его выручка постоянна и прибыль зависит только от его издержек, так как он получает субсидию, функция его издержек изменятся, и он ставит целью их минимизировать дабы получить максимальную прибыль. Схема по которой монополист получает субсидию равна сумме членов арифметической прогрессии при любом целом Y больше единицы, и выглядит эта сумма $SB=10*(Y+1)*Y$, тогда функция издержек приобретает вид: $TC=30*Q_1^2-190*Q_1+4235+20*Q_2^2-190*Q_2+4143-10*(Q_1+Q_2+1)*(Q_1+Q_2)$, так как мы сталкиваемся с двумя переменными решаем это уравнение взяв, частные производные по Q_1 и Q_2, в итоге получим что Q_1=20, Q_2=30, Y=50. При таком Y, P_y=130. Узнав цены на товары X и Y, мы можем получить функцию спроса товара Z, Q_z=140-P_z. Так как монополист совершает ценовую дискриминацию, он продаёт товар Z по двум разным ценам, пусть $P_l$, льготная цена, $P_n$-нормальная, тогда $Q_n=140-P_n$, а по льготной цене продаётся остаточный спрос $Q_l=140-P_l-Q_n$, выражаем $P_n$ и $P_l$ через соответствующие выпуски и пишем уравнения для прибыли. Оно имеет вид $Pr=(140-Q_n)*Q_n+(140-Q_n-Q_l)*Q_l-(Q_l+Q_n)^2$, снова применяем метод частных производным получаем что $Q_l=Q_n=20$, тогда $P_l=100$, $P_n=120$, $Pr=2800$. ВСЁ! P. S. Для сравнения можно посчитать прибыль если бы монополист не мог вводить ценовую дискриминацию, тогда MR=MC, Q=35, P=105, Pr=2450, то есть на 350 НИЖЕ. Надеюсь что грамматических и математических опечаток в решении мне удалось избежать. Ответ: 120, 100, 2800