Задача 1 ОЧ-2015 (9 класс)
Фирма «Гринэкспорт» выращивает огурцы в деревне А и может продать их в любом из девяносто восьми городов: $B_{1}, B_{2}, B_{3}…, B_{98}$. Город $B_{1}$ находится на расстоянии одного километра от деревни А, город $B_{2}$ — на расстоянии двух километров, город $B_{3}$ — на расстоянии трех километров и так далее. К сожалению, в процессе транспортировки огурцы успевают усохнуть, поэтому их вес при продаже меньше, чем при закупке. В начале транспортировки огурцы состоят из воды на 99%, а в результате транспортировки огурцов на t километров массовая доля воды в них падает до (99−t)%. В тоже время, чем дальше увезти огурцы от деревни А, тем дороже их можно продать: в городе $B_{t}$ один килограмм огурцов стоит $18t+18t^{2}$ рублей. Транспортировка одной тонны огурцов, закупленных в деревне А, на расстояние, равное t километров, обходится фирме в $1000∗t_{2}$ рублей. Других издержек фирма не несет. В каком городе следует продавать огурцы фирме «Гринэкспорт», чтобы получить наибольшую прибыль от продажи одной тонны огурцов?
Решение
Доля содержания воды=$\dfrac{Вода}{Вода+\text{Не Вода}}=\dfrac{99−t}{100}$ Рассмотрим, как меняется масса 1 кг огурцов. Масса Не Воды = 0,1кг. Тогда $\dfrac{Вода}{Вода+0,01}=\dfrac{99-t}{100}$ $$Вода=0,01\dfrac{99−t}{1+t}$$ Таким образом масса огурца будет равна НеВода+Вода=$0,01+0,01\dfrac{99−t}{1+t}=0,01\left(\dfrac{1+t+99−t}{1+t}\right)=\dfrac{1}{1+t}$ Один «изначальный» килограмм огурцов после транспортировки на t километров весит $\dfrac{1}{1+t}$ кг. Таким образом, прибыль от продажи одной тонны огурцов в городе $B_{t}$ составляет: $$p∗q−TC=(18t+18t^{2})∗\dfrac{1000}{1+t}−1000∗t^{2}=1000∗(18t−t^{2})$$ Это парабола с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при $t=9$. Ответ: В городе $B_{9}$