Задача 3 ОЧ-2014 (8 класс)
Предприниматель X договорился с администрацией страны Фрутляндии о разрешении продажи и производства фруктов. В таблице представлены издержки провоза 1 кг фруктов (во фрутиках – единице валюты Фрутляндии) на прямую перевозку между городами, т.е. перевозку без промежуточного города:
$$\begin{array}{c|ccc} \text{Из} \backslash \text{В город} & \text{А} & \text{Б} & \text{В} \\ \hline \text{А} & 0 & 15 & 5 \\ \text{Б} & 15 & 0 & 5 \\ \text{В} & 7 & 7 & 0 \end{array}$$
Возможна также косвенная перевозка (например, перевозка из А в В через Б, которая будет стоить $15+5=20$ фрутиков за 1 кг перевезённых фруктов). Предприниматель X может производить любой объём апельсинов в городе А, себестоимость – 10 фрутиков за 1 кг апельсинов. Город Б предъявляет спрос на 100 кг апельсинов по цене 19 фрутиков за 1 кг апельсинов. Произвести любой объём бананов предприниматель Х может в городе Б, себестоимость – 20 фрутиков за 1 кг бананов. Город В предъявляет спрос на 200 кг бананов по цене 30 фрутиков за 1 кг бананов. Также предприниматель Х может произвести в городе В любой объём винограда, себестоимость – 15 фрутиков за 1 кг винограда. Город А предъявляет спрос на 100 кг винограда по цене 16 фрутиков за 1 кг винограда. Каждый город предъявляет спрос только на один вид фруктов. Информацию выше можно представить в виде следующей таблицы:
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Фрукт} & \text{Город-произв.} & \text{Себест., фрут./кг} & \text{Город-покуп.} & \text{Спрос, кг} & \text{Цена, фрут./кг} \\ \hline \text{Апельсин} & \text{А} & 10 & \text{Б} & 100 & 19 \\ \text{Банан} & \text{Б} & 20 & \text{В} & 200 & 30 \\ \text{Виноград} & \text{В} & 15 & \text{А} & 100 & 16 \end{array}$$
Известно, что неудовлетворённость спроса в любом городе отразится проведением в нём 1 митинга. За каждый митинг администрация Фрутляндии будет взимать штраф с предпринимателя X в размере 500 фрутиков. Определите, выгодно ли предпринимателю начинать бизнес или нет. Обоснуйте свой ответ. Если предпринимателю выгодно начать бизнес, определите, что и в каком объёме будет производить и доставлять господин X. Вычислите прибыль предпринимателя.
$$\begin{array}{c|ccc} \text{Из} \backslash \text{В город} & \text{А} & \text{Б} & \text{В} \\ \hline \text{А} & 0 & 15 & 5 \\ \text{Б} & 15 & 0 & 5 \\ \text{В} & 7 & 7 & 0 \end{array}$$
Возможна также косвенная перевозка (например, перевозка из А в В через Б, которая будет стоить $15+5=20$ фрутиков за 1 кг перевезённых фруктов). Предприниматель X может производить любой объём апельсинов в городе А, себестоимость – 10 фрутиков за 1 кг апельсинов. Город Б предъявляет спрос на 100 кг апельсинов по цене 19 фрутиков за 1 кг апельсинов. Произвести любой объём бананов предприниматель Х может в городе Б, себестоимость – 20 фрутиков за 1 кг бананов. Город В предъявляет спрос на 200 кг бананов по цене 30 фрутиков за 1 кг бананов. Также предприниматель Х может произвести в городе В любой объём винограда, себестоимость – 15 фрутиков за 1 кг винограда. Город А предъявляет спрос на 100 кг винограда по цене 16 фрутиков за 1 кг винограда. Каждый город предъявляет спрос только на один вид фруктов. Информацию выше можно представить в виде следующей таблицы:
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Фрукт} & \text{Город-произв.} & \text{Себест., фрут./кг} & \text{Город-покуп.} & \text{Спрос, кг} & \text{Цена, фрут./кг} \\ \hline \text{Апельсин} & \text{А} & 10 & \text{Б} & 100 & 19 \\ \text{Банан} & \text{Б} & 20 & \text{В} & 200 & 30 \\ \text{Виноград} & \text{В} & 15 & \text{А} & 100 & 16 \end{array}$$
Известно, что неудовлетворённость спроса в любом городе отразится проведением в нём 1 митинга. За каждый митинг администрация Фрутляндии будет взимать штраф с предпринимателя X в размере 500 фрутиков. Определите, выгодно ли предпринимателю начинать бизнес или нет. Обоснуйте свой ответ. Если предпринимателю выгодно начать бизнес, определите, что и в каком объёме будет производить и доставлять господин X. Вычислите прибыль предпринимателя.
Ответ
Бизнес начинать выгодно. X производит и доставляет апельсины (100 кг, через В) и бананы (200 кг), спрос на виноград не удовлетворяет (платит штраф 500 фрутиков). Прибыль — 200 фрутиков.
Решение
Решение данной задачи удобнее представить в виде таблицы:
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Фрукт} & \text{Произв.} & \text{Себест.} & \text{Покуп.} & \text{Спрос} & \text{Цена} & \text{Перевозка} & \text{Фин. рез.} & \text{Штраф} & \text{Итог} \\ \hline \text{Апельсин} & \text{А} & 10 & \text{Б} & 100 & 19 & 12\ (\text{через В}) & -300 & \text{Нет} & -300 \\ \text{Банан} & \text{Б} & 20 & \text{В} & 200 & 30 & 5 & 1000 & \text{Нет} & 1000 \\ \text{Виноград} & \text{В} & 15 & \text{А} & 100 & 16 & 7 & -600 & \text{Да} & -500 \end{array}$$
Важно отметить, что если предпринимателю выгодно производить какой-то фрукт, то он будет производить этот фрукт ровно в количестве, на которое предъявляется спрос. Это можно объяснить тем, что если он произведёт меньше, то предпринимателю придётся платить штраф за неудовлетворённый спрос. Также поясним, почему цена перевозки из А в Б равна 12, а не 15, как указано в таблице. По условию возможна косвенная перевозка через промежуточный город. В данном случае это выгоднее (из А в В она равна 5; из В в Б – 7). Значения в столбце «финансовый результат» получены как разница между выручкой от продаж и издержками на транспортировку и производство. Например, финансовый результат от апельсинов равен: $19\times100-10\times100-12\times100=-300$. В столбце «штраф за митинг» приведена информация о том, выгодно ли предпринимателю допускать митинг. Столбец «итог» получается после сравнения возможного финансового результата от продаж фруктов и штрафа за митинг. Штраф за митинг выгоден только в случае недопоставок винограда: $-500>-600$. Суммируя итоговый доход с учётом штрафов и издержек от продаж всех фруктов, предприниматель получит прибыль в размере 200 фрутиков: $-300+1000-500=200$.
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Фрукт} & \text{Произв.} & \text{Себест.} & \text{Покуп.} & \text{Спрос} & \text{Цена} & \text{Перевозка} & \text{Фин. рез.} & \text{Штраф} & \text{Итог} \\ \hline \text{Апельсин} & \text{А} & 10 & \text{Б} & 100 & 19 & 12\ (\text{через В}) & -300 & \text{Нет} & -300 \\ \text{Банан} & \text{Б} & 20 & \text{В} & 200 & 30 & 5 & 1000 & \text{Нет} & 1000 \\ \text{Виноград} & \text{В} & 15 & \text{А} & 100 & 16 & 7 & -600 & \text{Да} & -500 \end{array}$$
Важно отметить, что если предпринимателю выгодно производить какой-то фрукт, то он будет производить этот фрукт ровно в количестве, на которое предъявляется спрос. Это можно объяснить тем, что если он произведёт меньше, то предпринимателю придётся платить штраф за неудовлетворённый спрос. Также поясним, почему цена перевозки из А в Б равна 12, а не 15, как указано в таблице. По условию возможна косвенная перевозка через промежуточный город. В данном случае это выгоднее (из А в В она равна 5; из В в Б – 7). Значения в столбце «финансовый результат» получены как разница между выручкой от продаж и издержками на транспортировку и производство. Например, финансовый результат от апельсинов равен: $19\times100-10\times100-12\times100=-300$. В столбце «штраф за митинг» приведена информация о том, выгодно ли предпринимателю допускать митинг. Столбец «итог» получается после сравнения возможного финансового результата от продаж фруктов и штрафа за митинг. Штраф за митинг выгоден только в случае недопоставок винограда: $-500>-600$. Суммируя итоговый доход с учётом штрафов и издержек от продаж всех фруктов, предприниматель получит прибыль в размере 200 фрутиков: $-300+1000-500=200$.