Дальняя дорога
Однажды экономист проезжал мимо поста дорожной службы, где увидел своего дядю-инспектора. Завязался разговор, в ходе которого милиционер поднял наболевшую тему: «Вот, ездят обгонщики по обочине, а честные граждане вынуждены их пропускать и тратить своё время». На что экономист заметил: «Но ведь от того, что используется больше полос, пропускная способность дороги увеличивается». Они пожали руки, и экономист поехал дальше, думая про себя о проблемах автодорожного регулирования. Время, которое должен потратить каждый автомобиль, чтобы преодолеть участок на дороге, задаётся уравнением $T_A=10+A^2+0,19B^2$, где $A$ – порядочные автомобилисты, $B$ – обгонщики. Если кто-то решит поехать по обочине, то для каждого обгонщика время составит следующую функцию: $T_B=10+B^2$. Примечание: для решения пунктов со звёздочкой вам пригодится калькулятор.
Подпункты
а)
Считайте, что все граждане законопослушные. Найдите, сколько времени понадобится водителю для преодоления трассы, если навигатор подсказывает, что на дороге 15 машин.
б)
Найдите общественный оптимум (равновесие: сколько машин поедет по дороге и сколько по обочине, а также время, которое они затратят), при условии, что все автомобилисты рациональны, а их общее количество 76.
в)
(*) Предположим, в какой-то момент времени на дороге оказались только машины одного таксопарка. Служба такси, очевидно, минимизирует время поездки всех своих пассажиров. Найдите, сколько машин она отправит и по какому пути.
г)
Государство взяло на вооружение исследование службы такси из предыдущего пункта и решает ввести штраф на обгонщиков, чтобы изменить оптимум. Считайте, что для обгонщиков заплатить 1 у.е. штрафа равносильно потратить 1 минуту. Вероятность попасться инспектору составляет 0,81. Какой нужно ввести налог для устранения обгонщиков? (*) А для минимизации общего времени всех участников дорожного движения?