Равновесие на эскалаторе

Введение в экономику и экономическое мышление Олигополия и теория игр Внешние эффекты и общественные блага ★★★☆☆

количественная развёрнутая задача на доказательство целочисленность или дискретный выбор SolveHub – банк задач по экономике

В Московском метро почти всегда можно заметить следующую ситуацию на эскалаторах: на правой стороне люди стоят, а на левой идут. Впрочем, иногда заняты и обе стороны стоячими. Эта задача хочет немного посмотреть на эти интересные равновесия и выяснить, какое из них лучше.

Допустим, за час одним эскалатором пользуются $N=3000$ человек. Если выбрать правую сторону эскалатора, то сначала придется выстоять очередь, время которой можно определить как $N_R/1500$ $Nr/1500$ минут, где $N_R$ $Nr$ — количество людей, решивших тоже выбрать эту сторону. Само время спуска определим как $T=6$ минут.

Если идти по левой стороне, то в очереди стоять не нужно (потому что всем настолько лень это делать, что очередь), а сам спуск займет в $w$ раз меньше времени. Спуск по левой стороне связан с издержками $6w$, т к. бегать быстро — сложновато :(

Чем больше человек ценит свое время, тем большие издержки он несет примем их как $a_i*t$, где $a_i$ — параметр, отражающий то, насколько сильно человек ценит свое время, а $t$ — время в потраченное на очередь и спуск.

Есть три группы людей. $25\%$ от общего числа сильно торопятся, поэтому для них $a_1=5$. $50\%$ не слишком торопятся, поэтому их $a_2=33$. Оставшиеся $25\%$ поймали дзен, поэтому у них $a_3=1$.

Пусть $w=3$. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.
Пусть $w=2$. Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.
Руководство метро решило отменить возможность идти по эскалатору — теперь и слева можно только стоять. Теперь полезность людей на левой стороне эскалатора аналогична правому, только очередь зависит от $N_L$ — количества людей, выбравших левый эскалатор. Как теперь распределяются люди по эскалаторам? Найдите среднюю полезность и сравните её с пунктом 1.
Если вы верно решили пункты 1) и 3), то могли заметить, что суммарная полезность уменьшилась. В то же время пропускная способность эскалатора увеличилась (доказательство последнего факта оставим за рамками задачи, хотя автор задачи порадуется, если вы его напишете). Объясните парадоксальную ситуацию.