У школьников на Летней школе есть желание выступить на финальной олимпиаде лучше
У школьников на Летней школе есть желание выступить на финальной олимпиаде лучше, чем другие. К сожалению, для этого нужно много работать. Пусть всего в группе только 11 школьников. Каждый из них должен потратить на учебу $h_i$ часов, но из-за этой учебы он откажется от $\frac{h_i^2}{2}$ единиц удовольствия. Удовольствие, которое принесут каждому школьнику его труды, можно описать так: $1000 * \frac{h_i}{H - h_i}$, где $H$ - все часы на учебу, потраченные всеми ребятами в группе. Сколько в таком случае потратит каждый школьник, чтобы образовалось равновесие по Нэшу? Можно ли сделать так, чтобы правитель Дмитрий Леонидович смог увеличить уровень счастья каждого школьника в этой группе, самолично назначив каждому его число учебных часов?
Решение
Знаменатель не зависит от $h_i$, назовем сумму часов оставшихся школьников $HH$. Тогда каждый максимизирует счастье $U = 1000 * \frac{h_i}{HH} - \frac{h_i^2}{2}$. Парабола ветвями вниз $h_i = \frac{1000}{HH}$. Равновесие должно быть симметричным, то есть $HH = 10 * h_i$.
$h_i^2 = 100$.
$h_i = 10 $. То есть каждый будет по 10 часов заниматься.
Увеличить можно, нужно чтобы каждый просто поменьше занимался, хотя это не NE.
$h_i^2 = 100$.
$h_i = 10 $. То есть каждый будет по 10 часов заниматься.
Увеличить можно, нужно чтобы каждый просто поменьше занимался, хотя это не NE.