Отбор электростанций системным оператором

Предлагаем вам рассмотреть задачу, основанную на принципах формирования рынка электроэнергии в России. Как известно, электричество — товар, который практически невозможно запасать. Сколько электричества вырабатывается, столько и должно быть потреблено (по крайней мере, на уровне потребления страны в целом или отдельных регионов в частности). Кроме того, каждая электростанция обладает двумя характеристиками: минимальный и максимальный объем нагрузки, которые она может нести (они называются $P_{min}$ и $P_{max}$ ). То есть если у станции $P_{min}=100$ МВт и $P_{max}=200$ МВт, то станция, если она включена, может нести электрическую нагрузку в любой момент времени от $100$ до $200$ МВт.

Рынок электроэнергии регулируется следующим образом: системный оператор (СО) каждые сутки собирает заявки станций, которые состоят из трех значений: $P_{min}$, $P_{max}$ и цена. Далее системный оператор определяет: $1$ ) какие станции включить; 2) какие станции будут нести нагрузку. При этом потребление электричества колеблется в течение суток (ночью потребляется меньше, днем больше). Соответственно, нужно включить станции так, что сумма $P_{min}$ включенных станций была меньше или равна минимальному потреблению в течение суток (электричество хранить нельзя), а сумма $P_{max}$ включенных станций должна быть больше или равна максимальному потреблению в сутках (иначе некоторым потребителям не хватит энергии).

Системный генератор формирует кривую предложения на рынке на следующие сутки следующим образом: все $P_{min}$ тех станций, которые по решению СО включены, предлагаются бесплатно, так как они в любом случае будут работать. Следующей к продаже предлагается нагрузка той станции, которая подала минимальную цену, за вычетом ее $P_{min}$ (величина $(P_{max}-P_{min})$ станции называется дозагрузкой). Следующей к продаже предлагается дозагрузка станции выставившей предпоследнюю по величине цену и т.д. Цена на сутки определяется как цена той станции, которая закроет среднесуточное потребление (то есть будет последней в этой цепочке). При этом системный оператор выбирает, какие станции включить, так, чтобы минимизировать цену.

Пример. Предположим, что на Сахалине $2$ станции с заявками:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Станция} & P_{\text{min}} \, \text{(МВт)} & P_{\text{max}} \, \text{(МВт)} & \text{Цена (руб./МВт)} \\ \hline \text{Сахалинская ГРЭС} & 100 & 200 & 500 \\ \hline \text{Сахалинская ТЭЦ} & 150 & 250 & 700 \\ \hline \end{array}$

Предположим, что потребление Сахалина $300$ МВт и колеблется от $270$ до $330$ МВт в течение суток (эти величины в отдельно взятый день не зависят от цены электроэнергии). Получается, что СО должен включить обе станции, так как ни одна из станций не способна в одиночку взять нагрузку $330$ МВт.

Тогда кривая предложения будет иметь вид: $100+150=250$ МВт бесплатно, $100$ МВт по цене $500$ рублей за МВт и еще $100$ МВт по цене $700$ рублей за МВт. Учитывая, что суммы $P_{min}$ станций и $100$ Вт дозагрузки Сахалинской ГРЭС хватает, чтобы закрыть среднесуточное потребление Сахалина $(250+100>300)$ то цена за электричество будет назначена на уровне $500$ рублей за МВт.

Задача. Предположим, в Красноярском крае системный оператор получил следующие заявки от станций на $1$ марта $2015$ года:

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \textbf{\text{Станция}} & P_{\min} (\text{МВт}) & P_{\max} (\text{МВт}) & \text{Цена (руб./МВт)} \\ \hline \text{Березовская ГРЭС} & 500 & 600 & 300 \\ \text{Красноярская ТЭЦ-1} & 200 & 210 & 450 \\ \text{Красноярская ТЭЦ-2} & 180 & 240 & 480 \\ \text{Красноярская ТЭЦ-3} & 280 & 360 & 500 \\ \text{Минусинская ТЭЦ} & 180 & 360 & 800 \\ \text{ТЭЦ ОАО Русал-Ачин} & 200 & 300 & 900 \\ \hline \end{array}$

Предположим, что среднесуточное потребление прогнозируется на уровне $1000$ МВт, а отклонение вниз и вверх может составить по $150$ МВт.

1. Какие станции включит системный оператор? Какая цена будет установлена на рынке на $1$ марта?

2. Предположим, что ожидаемый уровень потребления (а также его верхняя и нижняя граница) увеличится на $2\%$. Какие станции будут включены системным оператором, и какая цена будет установлена на рынке? Как изменится цена по сравнению с пунктом $1$ ?