Экспонат
Алиса любит конфеты ($x_1$), печенье ($x_2$) и постимпрессионизм. Килограмм конфет стоит $p_1 =250$, а килограмм печенья стоит $p_2=110$. Сергей, друг Алисы, хочет сводить ее на выставку ее любимого голландского художника, но требует, чтобы она сама заплатила за билет. Билет на выставку стоит $p_3$, однако туда бесплатно пускают девушек, пришедших в обуви на шпильках от 10 см. У Алисы нет обуви на шпильках (более того, она терпеть не может носить такую обувь, поэтому в ней удовольствие Алисы от выставки несколько снизится), но она может взять ее напрокат по цене $p_4=700$. Предпочтения Алисы относительно конфет, печенья, посещения выставки и ношения обуви на шпильках представимы функцией полезности \[U(x_1, x_2, x_3, x_4)=x_1 x_2 +36 x_3- 16x_4,\] где количество конфет и печенья может принимать любые неотрицательные значения, а $x_3$ и $x_4$ — только значения 1 и 0 (в зависимости от того, пошла ли она на выставку и взяла ли обувь напрокат). Общая сумма денег, которую Алиса может потратить, равна 2000. Найдите спрос Алисы на конфеты, печенье, посещение выставки и обувь на шпильках в зависимости от цены билета на выставку.
Решение
Алиса может выбрать один из трех вариантов: Пойти на выставку, взяв обувь напрокат. Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат. Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла). Рассмотрим вариант 1. В этом случае $x_3=x_4=1$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_1=x_1 x_2+20$ (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за $p_4=700$, а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье 1300. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2\le 1300$. Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что $x_2=130/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_1=x_1\left(130/11-(25/11)x_1\right)+20$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=13/5$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_1^*=389/11$. Рассмотрим вариант 2. В этом случае $x_3=1$, $x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_2=x_1 x_2+36$. Поскольку Алиса покупает билет на выставку за $p_3$, она может потратить на конфеты и печенье $(2000-p_3)$. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000-p_3$, откуда $x_2=(2000-p_3)/110-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_2=x_1\left((2000-p_3)/110-(25/11)x_1\right)+36$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=(2000-p_3)/500$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $$U_2^*=\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36.$$ Рассмотрим вариант 3. В этом случае $x_3=x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_3=x_1 x_2$. Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму 2000. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000$, откуда $x_2=200/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_3=x_1\left(200/11-(25/11)x_1\right)$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=4$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_3^*=400/11$. Нетрудно заметить, что лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках ($400/11>389/11$, так что вариант 1 никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты 2 и 3, составим неравенство: $$\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36 \ge \frac{400}{11}$$ Решая это неравенство с учетом неотрицательности цены, получаем $p_3\le 1800$, то есть при ценах, больших 1800, Алиса предпочтет вариант 3, а при ценах, меньших 1800, — вариант 2 (при $p_3=1800$ она безразлична между вариантами). Составим функции спроса: $$
\begin{aligned} &x_1^*=\begin{cases} (2000-p_3)/500, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 4, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} && x_2^*=\begin{cases} (2000-p_3)/220, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 100/11, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} \\ &x_3^*=\begin{cases} 1, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 0, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} && x_4^*=0 \end{aligned}
$$ Примечание: Задача основана на реальных событиях . Источник задачи — домашнее задание по курсу «Микроэкономика-1» Совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ по экономике.
\begin{aligned} &x_1^*=\begin{cases} (2000-p_3)/500, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 4, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} && x_2^*=\begin{cases} (2000-p_3)/220, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 100/11, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} \\ &x_3^*=\begin{cases} 1, &\text{ если } p_3\le 1800, \\ 0, &\text{ если } p_3> 1800, \\ \end{cases} && x_4^*=0 \end{aligned}
$$ Примечание: Задача основана на реальных событиях . Источник задачи — домашнее задание по курсу «Микроэкономика-1» Совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ по экономике.