Манипулятор
Совет директоров ЗАО «Манипулятор» состоит из трёх человек — Васи, Пети и Маши (Маша — председатель). Они выбирают рекомендацию по распределению прибыли из трёх альтернатив: A — выплатить всю прибыль дивидендами; B — вложить всю прибыль в новое оборудование; C — половину прибыли дивидендами, а половину вложить в усовершенствование оборудования. Предпочтения членов совета (сверь): $$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline - & \text{Вася} & \text{Петя} & \text{Маша} \\\hline \text{Самая лучшая} & A & B & C \\\hline \text{Средняя} & B & C & A \\\hline \text{Самая худшая} & C & A & B \\\hline \end{array}$$ На голосование выставляются все три альтернативы, и каждый член совета голосует ровно за одну. Если какая-то альтернатива набрала больше одного голоса — она реализуется; иначе реализуется та, за которую проголосовала председатель Маша. Голосование открытое и последовательное; порядок голосования определяет Маша. Какой порядок она выберет?
Решение
Всего существует 6 возможных порядков голосования; обозначим их по первым буквам имен членов совета директоров: ВПМ, ВМП, МПВ, МВП, ПВМ, ПМВ. Маша выберет тот из них, при котором она добивается реализации как можно более хорошей для себя альтернативы. Докажем, что при порядке голосования ПМВ Маша сможет добиться реализации альтернативы С, а при всех остальных порядках голосования альтернатива С реализована не будет. Сначала установим несколько простых фактов. Утверждение 1. Если первый из голосующих называет не самую лучшую для себя альтернативу, то именно названная им альтернатива будет реализована. Доказательство. Для одного из оставшихся членов совета директоров названная первым голосующим альтернатива будет самой лучшей. Поэтому можно быть уверенным в том, что за данную альтернативу будет отдано как минимум 2 голоса, в результате чего она будет реализована. Утверждение 2. Первый из голосующих никогда не отдаст свой голос за самую худшую из своих альтернатив. Доказательство. По утверждению 1 если первый проголосует за альтернативу, которая не является для него наилучшей, то именно она будет реализована. Значит, первому заведомо лучше назвать среднюю альтернативу, чем самую худшую. Утверждение 3. Если Вася голосует первым, то будет реализована альтернатива В. Доказательство. Из утверждения 2 следует, что Вася не будет голосовать за альтернативу С. По утверждению 1, если Вася проголосует за В, то будет реализована альтернатива В. Пусть теперь Вася голосует за А. Если вторым голосует Петя, то для него альтернатива В недостижима, так как, проголосовав за В, он обнаружит, что Маша проголосовала за С и победила альтернатива С. Поэтому Пете придется довольствоваться альтернативой В. Если второй голосует Маша, то она может обеспечить себе альтернативу С: если она проголосует за С, то Пете придется выбирать между В и С, и он сделает выборв пользу С. Понимая это, Вася назовет В, а не А. Тогда будет реализована альтернатива В. Утверждение 4. Если Петя голосует первым, а Вася – вторым, то будет реализована альтернатива В. Доказательство. Если Петя назовет альтернативу В, то Васе придется назвать В и согласиться с тем, что победит альтернатива В. Если бы Вася назвал А или С, то Маша отдаст свой голос за С. В результате этого победит С, что Васю не устраивает. Таким образом, при порядке голосования ПВМ побеждает альтернатива В.