Котопёс
На озере Истра промышляет рыболовецкая артель «Марго». Свою продукцию артель реализует по фиксированной цене $10$ тыс. руб. за тонну. На берегу того же озера был построен завод «Марта», производственная технология которого требует сброса отходов в водоем. Завод продает свою продукцию по фиксированной цене $17$ руб. за штуку. Производство каждой тысячи штук продукции приводит к необходимости сброса в озеро одной тонны отходов. Отходы, сброшенные в озеро, ведут к сокращению популяции рыбы и затруднению ловли для артели «Марго». Пусть $Q_1$ – объем производства рыболовецкой артели в тоннах, $Q_2$ – объем производства завода «Марта» в тыс.штук. Тогда функция издержек (в тыс. руб.) артели «Марго» имеет вид $TC_1 = 10 + Q_1^2 + Q_2^2$ , функция производственных издержек (в тыс. руб.) завода: $TC_2 = 2 + 2Q^2_2$.
Подпункты
а)
Пусть права собственности не определены, и каждое предприятие выбирает объем производимой продукции по собственному усмотрению, не принимая во внимание внешних эффектов. Какие объемы производства выберут предприятия?
б)
Пусть предприятия объединились и максимизируют совокупную прибыль. Какие объемы производства выберут предприятия?
в)
Пусть в условиях раздельной собственности под давлением экологов местная администрация разрешила артели «Марго» взимать с завода «Марта» фиксированную плату за каждую тонну отходов, объем которых легко наблюдаем. Оба упомянутых предприятия выбирают свои действия так, чтобы максимизировать собственную прибыль. Какой будет плата, если она установится на уровне, уравновешивающем спрос и предложение загрязнений (каждая из фирм считает величину платы за единицу заданной)? Будут ли при этом фирмы производить эффективные объемы?
Решение
$$\pi_1 = 10Q_1-Q_1^2-Q_2^2 - 10 \rightarrow max по Q_1$$
$$Q_1^* = 5$$
$$\pi_2 = 17Q_2 - 2Q_2^2 - 2 \rightarrow max по Q_2$$
$$ Q_2^* = \cfrac{17}{4} $$
$$\pi = 10Q_1 + 17Q_2 - Q_1^2 - 3Q_2^2 - 12 \rightarrow max по Q_1 и Q_2$$
$$Q_1^* = 5 Q_2^* = \cfrac{17}{6} $$
Необходимо найти спрос и предложение загрязнений. Для этого промаксимизируем каждую прибыль по $Q_2$ с учетом того, что на них введен налог, на который они влиять не могут.
$$\pi_1 = 10Q_1-Q_1^2-Q_2^2 - 10 + tQ_2 \rightarrow max \text { по } Q_2$$
$$Q_2^* =\cfrac{t}{2}$$
$$\pi_2 = 17Q_2 - 2Q_2^2 - 2 - tQ_2\rightarrow max по Q_2$$
$$ Q_2^* = \cfrac{17-t}{4}$$
$$\cfrac{t}{2} = \cfrac{17-t}{4}$$
$$ t = \cfrac{17}{3}$$
Тогда $Q_1 = 5$, а $Q_2 = \cfrac{17}{6}$ прям как в пункте б! Поэтому они производят эффективные объемы.
$$Q_1^* = 5$$
$$\pi_2 = 17Q_2 - 2Q_2^2 - 2 \rightarrow max по Q_2$$
$$ Q_2^* = \cfrac{17}{4} $$
$$\pi = 10Q_1 + 17Q_2 - Q_1^2 - 3Q_2^2 - 12 \rightarrow max по Q_1 и Q_2$$
$$Q_1^* = 5 Q_2^* = \cfrac{17}{6} $$
Необходимо найти спрос и предложение загрязнений. Для этого промаксимизируем каждую прибыль по $Q_2$ с учетом того, что на них введен налог, на который они влиять не могут.
$$\pi_1 = 10Q_1-Q_1^2-Q_2^2 - 10 + tQ_2 \rightarrow max \text { по } Q_2$$
$$Q_2^* =\cfrac{t}{2}$$
$$\pi_2 = 17Q_2 - 2Q_2^2 - 2 - tQ_2\rightarrow max по Q_2$$
$$ Q_2^* = \cfrac{17-t}{4}$$
$$\cfrac{t}{2} = \cfrac{17-t}{4}$$
$$ t = \cfrac{17}{3}$$
Тогда $Q_1 = 5$, а $Q_2 = \cfrac{17}{6}$ прям как в пункте б! Поэтому они производят эффективные объемы.