Неравенство и братство

Рассмотрим случай, когда выпуск каждого товара положителен. Тогда функция прибыли имеет вид: $$\pi(Q)= 30(Q_a+Q_b+Qc) - Q_a^2-Q_b^2-Q_c^2 - 10(Q_a+Q_b+Qc)+3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_C}$$ Из неравенства Коши имеем: $$Q_a+Q_b+Qc\geq 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_C}$$ Тогда введем вспомогательную функцию $M(Q)$: $$M(Q)= 30(Q_a+Q_b+Qc) - Q_a^2-Q_b^2-Q_c^2 - 10(Q_a+Q_b+Qc)+(Q_a+Q_b+Qc)$$ Заметим, что $M(Q)\geq \pi (Q)$ при любых положительных $Q_a,Q_b,Q_c$. Промаксимизируем $M(Q)$ по $Q_a,Q_b,Q_c$ Получив $Q_a=Q_b=Q_c=10.5$, заметим, что, с одной стороны, эта точка - максимум $M(Q)$, с другой, в этой точке $M(Q)= \pi(Q)$, значит, в любой другой точке значение $ \pi(Q)$ не больше, чем в данной. Осталось рассмотреть тривиальный случай, когда производство хотя бы одного товара нулевое. Несложно заметить, что в этом случае прибыль будет меньше, чем в ранее описанном случае. Ответ: 10.5;10.5;10.5;330.75