ssssstal
Компания «СтальГрад» владеет тремя заводами по производству стали. Каждый завод использует разную технологию, что влияет на их издержки и возможности производства. Издержки на открытие первого завода равны 1000 д.ед., а каждая произведённая на нём единица стоит 50 д.ед. Издержки на открытие второго завода равны 400 д.ед., а производство $Q$ единиц товара на нём обходится в $Q^2$ д.ед. Есть также третий завод — издержки на его открытие отсутствуют, а каждая единица, произведённая на нём, стоит 100 д.ед. Но вот незадача — его нельзя комбинировать вместе с первым и вторым заводами. А вот делить производство между первым и вторым — можно. Определите издержки «СтальГрада» в зависимости от общего выпуска стали.
Решение
$$
TC_1 =
\begin{cases}
0 &Q_1 = 0 \\
900 + 50Q &Q_1 > 0
\end{cases}
$$
$$
TC_2 =
\begin{cases}
0 &Q_2 = 0 \\
475 + Q^2 &Q_2 > 0
\end{cases}
$$
$$TC_3 = 100Q$$
Сложим 1 и 2 заводы. Допустим, что они уже открыты, тогда: $TC = 50Q - 625 + 1375, Q\geq 25$
Так как первоначальные затраты на открытие 2-го завода ниже, чем первого, то при небольших Q не станем открывать первый завод и будем производить всё на втором. Найдём Q, при котором безразлично:
$$475+Q^2 \leq 50Q - 625 + 1375 \Rightarrow (Q-55)(Q+5)\leq 0$$
$$Q\leq 55$$
Тогда 1+2:
$$
TC_{1+2} =
\begin{cases}
475+Q^2 &Q \leq 55 \\
50Q + 750 &Q > 55
\end{cases}
$$
Теперь вспомним, что у нас есть 3-ий завод, который не требует первоначальных затрат. Значит маленький выпуск будем производить на нём.
При $Q\leq 55:$ $100Q \leq 475+Q^2 \Rightarrow Q\leq 5$
При $Q>55:$ $100Q \leq 50Q + 750 \Rightarrow Q \in \varnothing$
В итоге получаем:
$$
TC =
\begin{cases}
100Q &Q \leq 5 \\
475+Q^2 &5 < Q \leq 55 \\
50Q + 750 &Q > 55
\end{cases}
$$
TC_1 =
\begin{cases}
0 &Q_1 = 0 \\
900 + 50Q &Q_1 > 0
\end{cases}
$$
$$
TC_2 =
\begin{cases}
0 &Q_2 = 0 \\
475 + Q^2 &Q_2 > 0
\end{cases}
$$
$$TC_3 = 100Q$$
Сложим 1 и 2 заводы. Допустим, что они уже открыты, тогда: $TC = 50Q - 625 + 1375, Q\geq 25$
Так как первоначальные затраты на открытие 2-го завода ниже, чем первого, то при небольших Q не станем открывать первый завод и будем производить всё на втором. Найдём Q, при котором безразлично:
$$475+Q^2 \leq 50Q - 625 + 1375 \Rightarrow (Q-55)(Q+5)\leq 0$$
$$Q\leq 55$$
Тогда 1+2:
$$
TC_{1+2} =
\begin{cases}
475+Q^2 &Q \leq 55 \\
50Q + 750 &Q > 55
\end{cases}
$$
Теперь вспомним, что у нас есть 3-ий завод, который не требует первоначальных затрат. Значит маленький выпуск будем производить на нём.
При $Q\leq 55:$ $100Q \leq 475+Q^2 \Rightarrow Q\leq 5$
При $Q>55:$ $100Q \leq 50Q + 750 \Rightarrow Q \in \varnothing$
В итоге получаем:
$$
TC =
\begin{cases}
100Q &Q \leq 5 \\
475+Q^2 &5 < Q \leq 55 \\
50Q + 750 &Q > 55
\end{cases}
$$