В современном мире существует множество разных аукционов
В современном мире существует множество разных аукционов. Есть даже отдельный раздел в экономике, посвященный анализу и улучшению аукционов. Чаще всего продавец заинтересован в том, чтобы его товар купили как можно дороже, и правильно построенный аукцион ему может в этом помочь.
В этой задаче мы рассмотрим закрытый аукцион второй цены. Суть аукциона такова: каждый из участников указывает неотрицательную ставку, не зная ставок других участников. Участник, сделавший наибольшую ставку, выплачивает максимальную сумму среди ставок других участников (т.е. сумму второй по величине ставки) и получает некоторый предмет. Если максимальную ставку поставили несколько игроков, то можно считать, что они на равные части поделят товар и его стоимость (то есть если 4 человека назвали цену 20, а остальные меньше, то каждый получит только четверть удовольствия от товара и заплатит 5 рублей).
Предположим, Дима, Гриша и Андрей борются за медовик. Каждый из них имеет собственную оценку торта $\nu_i$, то есть полученное «удовольствие» от торта в денежном эквиваленте, $b_i$ — ставку, которую сделал $i$-ый игрок.
В этой задаче мы рассмотрим закрытый аукцион второй цены. Суть аукциона такова: каждый из участников указывает неотрицательную ставку, не зная ставок других участников. Участник, сделавший наибольшую ставку, выплачивает максимальную сумму среди ставок других участников (т.е. сумму второй по величине ставки) и получает некоторый предмет. Если максимальную ставку поставили несколько игроков, то можно считать, что они на равные части поделят товар и его стоимость (то есть если 4 человека назвали цену 20, а остальные меньше, то каждый получит только четверть удовольствия от товара и заплатит 5 рублей).
Предположим, Дима, Гриша и Андрей борются за медовик. Каждый из них имеет собственную оценку торта $\nu_i$, то есть полученное «удовольствие» от торта в денежном эквиваленте, $b_i$ — ставку, которую сделал $i$-ый игрок.
Подпункты
а)
Как будет выглядеть функция полезности для каждого?
б)
Докажите, что оптимальней всего в качестве ставки называть свою оценку $\nu_i$.
Решение
$$
U_i =
\begin{cases}
\nu_i - max(b_{-i}) &, b_i > max(b_{-i}) \\
\cfrac{\nu_i - max(b_{-i})}{n} &, b_i = max(b_{-i}) \\
0 &, b_i < max(b_{-i})
\end{cases}
$$
Необходимо разобрать три случая: ставка меньшне оценки, равна оценке, больше оценки. При этом надо в каждом разрезе рассматривать, где лежит вторая цена.
U_i =
\begin{cases}
\nu_i - max(b_{-i}) &, b_i > max(b_{-i}) \\
\cfrac{\nu_i - max(b_{-i})}{n} &, b_i = max(b_{-i}) \\
0 &, b_i < max(b_{-i})
\end{cases}
$$
Необходимо разобрать три случая: ставка меньшне оценки, равна оценке, больше оценки. При этом надо в каждом разрезе рассматривать, где лежит вторая цена.