Кривая Лаффера при монополии
Продукцию монополиста могут покупать две группы потребителей, функции спроса которых имеют вид $q_1=36-3p$ и $q_2=20-p$. $p$ — цена товара (в евро за килограмм), $q$ — количество товара (в кг). Функция общих издержек монополиста имеет вид: $TC=2q$. Правительство вводит налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждый килограмм проданного товара. Запишите аналитически вид зависимости суммы налоговых поступлений от ставки налога, постройте ее график. Определите ставку налога, при которой поступления в государственный бюджет будут максимальными, а также рассчитайте их величину. Считайте, что при безразличии между двумя уровнями выпуска фирма выбирает тот, который больше.
Решение
Рыночный спрос имеет вид: $$q=\begin{cases} 56-4p, & 0 \leq p \leq 12, \\ 20-p, & 12 \leq p \leq 20 \end{cases}$$ Найдем оптимальный выпуск фирмы для каждого значения ставки налога. Для этого рассмотрим два случая поведения фирмы. В первом случае она устанавливает цену не больше 12, а во втором – больше. Случай 1. $0\leq p \leq 12, 8\leq q\leq 56.$ В этом случае предельный доход фирмы $MR=14-0{,}5q$ (строго убывает с ростом выпуска), а предельные издержки $MC=2+t$ (постоянные). Следовательно оптимальный выпуск может быть найден из условия $MR=MC$: $$q=24-2t.$$ Подставив этот выпуск в функцию прибыли, получаем: $$PR=pq-2q-tq=(12-t)^2$$ Случай 2. $12\leq p \leq 20, 0 \leq q\leq 8.$ Аналогично предыдущему случаю, находим: $$q=0{,}5(18-t).$$ $$PR=0{,}25(18-t)^2.$$ Устанавливая цену, фирма будет выбирать тот случай, в котором ее прибыль больше. То есть фирма может выбирать первый случай, если выполняется условие: $$(12-t)^2\geq 0{,}25(18-t)^2$$ Решив это неравенство, получаем условие выбора первого варианта: $t\leq 6.$ Теперь мы можем для каждого значения ставки налога указать оптимальный выпуск фирмы. $$q=\begin{cases} 24-2t, & 0 \leq t \leq 6, \\ 9-0{,}5t, & t>6\\ \end{cases}$$ Точку $t=6$ мы включили в первый случай в соответствии с этим условием задачи: «Считайте, что, если при некоторой ставке налога максимальная прибыль фирмы достигается при двух различных объемах выпуска, то фирма выбирает наибольший из них». Заметим также, что в каждом из двух случаев выпуск фирмы удовлетворяет соответствующему ограничению (в первом случае $8\leq q \leq 56$, во втором случае $0\leq q<8$). Теперь уже можно получить уравнение кривой Лаффера: $$T=\begin{cases} (24-2t)t, & 0 \leq t \leq 6, \\ (9-0{,}5t)t, & t>6\\ \end{cases}$$ Максимальные поступления в бюджет равны 72 и достигаются при ставке налога равной 6.