Фирма, производящая древесину в Северной Каролине, является совершенным конкурен
Фирма, производящая древесину в Северной Каролине, является совершенным конкурентом на рынке товара. Однако та же самая фирма является монопсонистом на рынке труда и единственная в регионе предъявляет спрос на труд.
Подпункты
а)
Предположим, что все работники в регионе одинаковые и их полезность задаётся функцией $u(c,l)=c-\frac{1}{2}l^{2}$, где $c$ — объём потребления, $l$ — объём труда. Работники получают зарплату $w$ долларов в час. Цена одной единицы потребления равна $1$, единственный источник дохода работников — это их заработок. Найдите функцию предложения труда одного работника (решать без производных, через вершину параболы).
б)
Предположим, что в регионе всего находится 81 работник. Найдите рыночную функцию предложения труда.
в)
Известно, что производственная функция фирмы имеет вид $F(L)=\frac{8}{9}L-\frac{1}{729}L^{2}$ (в кубометрах), а цена одного кубометра древесины на рынке составляет $p=9$ долларов. Найдите зарплату, которую установит фирма-монопсонист.
г)
Правительство Северной Каролины решило увеличить общественное благосостояние, установив минимальный размер заработной платы. Какой МРОТ нужно установить правительству для максимизации общественного благосостояния?
Решение
(1) Бюджет работника: $c=wl$. Тогда $u(l)=wl-\frac{1}{2}l^{2}$.
Преобразуем к виду ``дополнение до квадрата'':
$u(l)=-\frac{1}{2}\bigl(l^{2}-2wl\bigr)=-\frac{1}{2}\Bigl((l-w)^{2}-w^{2}\Bigr)=-\frac{1}{2}(l-w)^{2}+\frac{1}{2}w^{2}.$
Максимум достигается при минимуме $(l-w)^{2}$, то есть при $l=w$. Следовательно, $l_s(w)=w$.
(2) Всего 81 одинаковый работник, поэтому $L_s(w)=81\,l_s(w)=81w$, и обратная функция предложения $w(L)=\frac{L}{81}$.
(3) Выручка фирмы: $TR(L)=pF(L)=9\left(\frac{8}{9}L-\frac{1}{729}L^{2}\right)=8L-\frac{1}{81}L^{2}$.
Фонд оплаты труда с учётом $w(L)=\frac{L}{81}$: $w(L)\cdot L=\frac{L}{81}\,L=\frac{L^{2}}{81}$.
Прибыль: $\pi(L)=TR(L)-w(L)L=\left(8L-\frac{1}{81}L^{2}\right)-\frac{L^{2}}{81}=8L-\frac{2}{81}L^{2}$.
Это парабола вида $-\alpha L^{2}+\beta L$ с $\alpha=\frac{2}{81}$, $\beta=8$. Координата вершины:
$L_m=\frac{\beta}{2\alpha}=\frac{8}{2\cdot(2/81)}=\frac{8}{4/81}=162$.
Тогда зарплата: $w_m=w(L_m)=\frac{L_m}{81}=\frac{162}{81}=2$.
(4) Для максимизации общественного благосостояния нужно реализовать эффективную занятость $L^*$.
Издержки (дисполезность) труда при общей занятости $L$: каждый работает $l=\frac{L}{81}$, поэтому $\sum\frac{1}{2}l_i^2=81\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{L}{81}\right)^2=\frac{L^{2}}{162}$.
Тогда общественное благосостояние: $W(L)=TR(L)-\sum\frac{1}{2}l_i^2=\left(8L-\frac{L^{2}}{81}\right)-\frac{L^{2}}{162}=8L-\frac{L^{2}}{54}$.
Это парабола; вершина:
$L^*=\frac{8}{2\cdot(1/54)}=\frac{8}{2/54}=216$.
Чтобы при МРОТ фирма могла нанять $L^*$, нужно $81w_{\min}=L^*$, то есть $w_{\min}^{opt}=\frac{L^*}{81}=\frac{216}{81}=\frac{8}{3}$.
Ответы: $l_s(w)=w,\; L_s(w)=81w,\; w_m=2,\; w_{\min}^{opt}=\frac{8}{3}$.
Преобразуем к виду ``дополнение до квадрата'':
$u(l)=-\frac{1}{2}\bigl(l^{2}-2wl\bigr)=-\frac{1}{2}\Bigl((l-w)^{2}-w^{2}\Bigr)=-\frac{1}{2}(l-w)^{2}+\frac{1}{2}w^{2}.$
Максимум достигается при минимуме $(l-w)^{2}$, то есть при $l=w$. Следовательно, $l_s(w)=w$.
(2) Всего 81 одинаковый работник, поэтому $L_s(w)=81\,l_s(w)=81w$, и обратная функция предложения $w(L)=\frac{L}{81}$.
(3) Выручка фирмы: $TR(L)=pF(L)=9\left(\frac{8}{9}L-\frac{1}{729}L^{2}\right)=8L-\frac{1}{81}L^{2}$.
Фонд оплаты труда с учётом $w(L)=\frac{L}{81}$: $w(L)\cdot L=\frac{L}{81}\,L=\frac{L^{2}}{81}$.
Прибыль: $\pi(L)=TR(L)-w(L)L=\left(8L-\frac{1}{81}L^{2}\right)-\frac{L^{2}}{81}=8L-\frac{2}{81}L^{2}$.
Это парабола вида $-\alpha L^{2}+\beta L$ с $\alpha=\frac{2}{81}$, $\beta=8$. Координата вершины:
$L_m=\frac{\beta}{2\alpha}=\frac{8}{2\cdot(2/81)}=\frac{8}{4/81}=162$.
Тогда зарплата: $w_m=w(L_m)=\frac{L_m}{81}=\frac{162}{81}=2$.
(4) Для максимизации общественного благосостояния нужно реализовать эффективную занятость $L^*$.
Издержки (дисполезность) труда при общей занятости $L$: каждый работает $l=\frac{L}{81}$, поэтому $\sum\frac{1}{2}l_i^2=81\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{L}{81}\right)^2=\frac{L^{2}}{162}$.
Тогда общественное благосостояние: $W(L)=TR(L)-\sum\frac{1}{2}l_i^2=\left(8L-\frac{L^{2}}{81}\right)-\frac{L^{2}}{162}=8L-\frac{L^{2}}{54}$.
Это парабола; вершина:
$L^*=\frac{8}{2\cdot(1/54)}=\frac{8}{2/54}=216$.
Чтобы при МРОТ фирма могла нанять $L^*$, нужно $81w_{\min}=L^*$, то есть $w_{\min}^{opt}=\frac{L^*}{81}=\frac{216}{81}=\frac{8}{3}$.
Ответы: $l_s(w)=w,\; L_s(w)=81w,\; w_m=2,\; w_{\min}^{opt}=\frac{8}{3}$.