О стоимости жизни
В этом году исполняется ровно 100 лет с момента публикации работы российского экономиста Александра Конюса «Проблема истинного индекса стоимости жизни». В своей статье Конюс предложил измерять уровень цен при помощи индекса стоимости жизни. В рамках предложенной задачи Вам предстоит ознакомиться с предложенным им способом и сравнить его с другими используемыми способами подсчета уровня цен. Рассмотрим потребителя, имеющего функцию полезности $U(x_1,x_2,x_3 )=x_1+2x_2+\sqrt{x_3}$. Функция полезности потребителя зависит от количества потребленных им трёх товаров, обозначенных как $x_1$, $x_2$ и $x_3$ соответственно. Обратите внимание, что количество каждого из потреблённых товаров $x_i \geq 0$, при этом $x_i$ не обязательно является целым числом. Пусть $p_{1}^t,p_{2}^t,p_{3}^t$ "— цены каждого из товаров соответственно в году $t$, где $t=2023$ или $t=2024$. Потребитель стремится поддерживать уровень полезности $\overline{U}$, при этом он делает это так, чтобы его расходы на покупку товаров были минимальны. Пусть также $\overline{U}=4$, цены товаров в 2023 году $p_1^{2023}=10$, $p_2^{2023}=25$, $p_3^{2023}=5/2$, а в 2024 году $p_1^{2024}=10$, $p_2^{2024}=10$, $p_3^{2024}=5/2$ соответственно.
Подпункты
а)
Какие товары и в каком количестве будет покупать потребитель в 2023 году и в 2024 году?
б)
Индекс стоимости жизни показывает, на сколько процентов выросли (или сократились) расходы на поддержку комфортного уровня потребления $\overline{U}$. Он подсчитывается как отношение расходов на поддержание уровня потребления $\overline{U}$ в году $t$ к расходам на поддержание уровня потребления $\overline{U}$ в году $t-1$. Чему равен индекс стоимости жизни в 2024 году?
в)
Индекс Пааше (дефлятор ВВП) и индекс Ласпейреса (индекс потребительских цен), также как и индекс стоимости жизни, используются для измерения уровня инфляции. Больше об инфляции можно узнать в подкасте РЭШ «Экономика на слух» . Чтобы подсчитать индекс Ласпейреса для 2024 года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в 2023 году продуктов в ценах 2024 года к стоимости потребляемых в 2023 году продуктов в ценах 2023 года. Для подсчёта индекса Пааше для 2024 года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в 2024 году продуктов в ценах 2024 года к стоимости потребляемых в 2024 году продуктов в ценах 2023 года. Подсчитайте оба индекса и сравните их с индексом стоимости жизни. в) Объясните интуитивно, почему индексы соотносятся между собой именно так, как Вы посчитали в предыдущем пункте. г) Экономист А. утверждает, что смотреть на изменение стоимости ноутбука или смартфона плохо отражает изменение уровня цен в экономике в целом из-за специфических особенностей этих товаров. Приведите два обоснования этой позиции. Предложите, как можно изменить методику подсчёта инфляции для этих товаров.
Решение
а) Решим задачу для 2023 года. Из функции полезности получим $x_1^{2023}=4-2 x_2^{2023}-\sqrt{x_3^{2023}}$. Это выражение подставим в функцию расходов: \[ Costs^{2023}=10x_1^{2023} + 25 x_2^{2023} + 5x_3^{2023}/2 = 10(4-2 x_2^{2023}-\sqrt{x_3^{2023}}+25x_2^{2023}+\dfrac{5}{2} x_3^{2023} = \] \[ =40+5x_2^{2023}+2.5 x_3^{2023}-10\sqrt{x_3^{2023}} \] Мы хотим выбрать $x_2^{2023}$ и $x_3^{2023}$ так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше. Заметим, что функция возрастает по $x_2^{2023}$ , поэтому $x_2^{2023} = 0$ . Относительно же $\sqrt{x_3^{2023}}$ мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е. \[ \sqrt{x_3^{2023}} = 2 \implies x_3^{2023}=4 \] Тогда $x_1^{2023}=4-2 \cdot 0-2=2$. Теперь решим задачу для 2024 года. Из функции полезности получим $x_2^{2024}=2-0.5 x_1^{2024}-0.5\sqrt{x_3^{2024}}$. Это выражение подставим в функцию расходов: \[ Costs^{2024}=10x_1^{2024} + 10 x_2^{2024} + 5x_3^{2024}/2 = 10x_1^{2024} + 10 (2-0.5 x_1^{2024}-0.5\sqrt{x_3^{2024}}) + 5x_3^{2024}/2 = \] \[ =20+5x_1^{2024}+2.5 x_3^{2024}-5\sqrt{x_3^{2024}} \] Мы хотим выбрать $x_1^{2024}$ и $x_3^{2024}$ так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше. Заметим, что функция возрастает по $x_1^{2024}$ , поэтому $x_1^{2024} = 0$ . Относительно же $\sqrt{x_3^{2024}}$ мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е. \[ \sqrt{x_3^{2024}} = 1 \implies x_3^{2024}=1 \] Тогда $x_2^{2024}=2-0.5 \cdot 0-0.5=3/2$. б) Подставим решение из предыдущего пункта. Тогда $Costs^{2023}=30$, а $Costs^{2024}=17.5$. Индекс стоимость жизни $COLI = 17.5/30 \approx 0.58$ в) Рассчитаем оба индекса. Индекс Пааше \[ I_P = \dfrac{10 \times 0 + 10 \times 3/2 + 2.5 \times 1}{10 \times 0 + 25 \times 3/2 + 2.5 \times 1} = 17.5/40 \approx 0.43 \] Индекс Ласпейреса \[ I_L = \dfrac{10 \times 2 + 10 \times 0 + 2.5 \times 1}{10 \times 2 + 25 \times 0 + 2.5 \times 1} = 1 \] г) Заметим слудеющее соотношение: $I_L \geq COLI \geq I_P$. Видно, что по индексу Ласпейреса уровень цен не изменился, в то время как по индекс Пааше и COLI упал (наблюдается дефляция). Это объясняется тем, что при подсчете индекса Ласпейреса фиксируется корзина прошлого года, что не учитывает структурные сдвиги в потреблении индивида. Индекс Пааше предлагает подстраивать эту корзину под новую из-за чего может происходить переоценка в нижнюю сторону, когда индекс COLI учитывает структурные изменения, так как напрямую строится исходя из выбора индивида д) Засчитывались различные корректные объяснения, в частности, изменение качества товара, малая роль товара в потребления, зависимость цены товары от технологического развития, роль товара как инвестиции. В качестве возможного изменения можно учитывать цену за мощность процессоров, величину видеопамяти и т.п. — это позволяет учесть изменение стоимости и доступность технических характеристик во времени. Предложенная идея называется гедонистическое ценообразованием .