Прямая пропорциональность

ILE / iloveeconomics.ru

Пусть спрос на товар X не остается неизменным, а растет год от года с постоянным темпом $\gamma >0$, т.е. спрос в период $t$ имеет вид $Q_{t}^{d} \left(p\right)=\left(1+\gamma \right)^{t} Q\left(p\right)$, где $Q\left(p\right)$ – функция спроса начального (нулевого) периода, причем эта функция убывает по цене и порождает убывающую функцию предельной выручки. Предположим, что средние издержки производства товара не меняются со временем, не зависят от объема продаж и равны $c$, причем $Q\left(c\right)>0$. Пусть данный товар производится монополистом, целью которого является получение максимально возможной прибыли. Как будут меняться во времени: цена продукции, объем продаж, прибыль?

Решение

Пусть спрос вырос в $k>0$ раз. Как изменятся цена, выпуск и прибыль? Раньше мы максимизировали $\pi_0(p)=p\cdot q(p)-TC(q(p))$, а теперь максимизируем $\pi_1(p)=p\cdot k\cdot q(p)-TC(k\cdot q(p))$. Самое время воспользоваться тем, что $TC(q)=c\cdot q$: $\pi_0(p)=p\cdot q(p)-c\cdot q(p)$ $\pi_1(p)=p\cdot k\cdot q(p)-c\cdot k\cdot q(p)=k(p\cdot q(p)-c\cdot q(p))=k\cdot \pi_0(p)$. То есть новая функция прибыли в зависимости от p – это старая, умноженная на положительную константу k. Вспомните график $y=k\cdot x$: при фиксированном k чем больше x, тем больше y:) А у нас $\pi_1=k\cdot \pi_0$. Чем больше $\pi_0$, тем больше $\pi_1$. Значит, подобрать p, при которой максимальна $\pi_1$ – то же самое, что подобрать p, при которой максимальна $\pi_0$. Итак, монополист не будет менять цену. Поэтому оптимальный выпуск вырастет ровно в k раз. Как, впрочем, и величина прибыли в точке оптимума. Осталось только подставить $k=(1+\gamma)^t$.

Прямая пропорциональность

Похожие задачи