Задача 4 ОЧ-2015 (11 класс)
В 1950-е годы экономисты обнаружили положительную взаимосвязь между уровнем инфляции и отклонением фактического совокупного выпуска от потенциального. Эту зависимость стали впоследствии называть кривой Филлипса$^{1}$: $$ \pi-\pi^{e}=b*(Y-Y^{*}) $$ где $\pi$ – фактический уровень инфляции; $\pi^{e}$ – ожидаемый уровень инфляции; Y –фактический совокупный выпуск; $Y^{*}$ – потенциальный совокупный выпуск; b – положительный параметр. В экономике некоторой страны $\Phi$ есть Центральный Банк. Часто для описания предпочтений Центрального Банка вводят функцию потерь L, которую Центральный Банк минимизирует. Глава ЦБ не любит инфляцию, но любит, когда в стране экономический подъем (фактический ВВП превышает потенциальный): $$ L=\alpha(\pi-\pi^{*})^{2}-(Y-Y^{*}) $$ где $\pi^{*}$ – целевой уровень инфляции, который Центральный Банк считает наиболее благоприятным для экономики (постоянный параметр в рамках этой задачи); $\alpha$ – положительный параметр. Будем предполагать, что гипотеза рациональных ожиданий верна, т.е. в равновесии ожидаемая инфляция равна фактической. Взаимодействие между экономическими агентами и Центральным Банком происходит следующим образом: 1) Сначала экономические агенты формируют свои ожидания $(\pi^{e})$, минимизируя следующую функцию потерь: $(\pi-\pi^{e})^{2}$. 2) После этого Центральный Банк узнает выбранный уровень ожиданий и выбирает уровень инфляции $\pi$. Предполагается, что Центральный Банк может непосредственно выбирать уровень инфляции и совокупного выпуска, которые ему необходимы. Также предполагается, что единственное ограничение, при котором Центральный Банк минимизирует свою функцию потерь, − это кривая Филлипса. Вопросы:
Подпункты
а)
Изобразите кривую Филлипса в координатах $(Y;\pi)$, предполагая, что $\pi^{e}=\pi^{*}$. Отметьте точку $(Y^{*};\pi^{*})$. Нарисуйте кривую безразличия Центрального Банка, (т.е. все комбинации $(Y;\pi)$, при которых L принимает фиксированное значение), проходящую через точку $(Y^{*};\pi^{*}))$. Чему равно значение функции потерь ($L^{*}$) в этом случае?
б)
Предполагая, что ожидания не меняются $(\pi^{e}=\pi^{*})$, определите, выгодно ли будет Центральному Банку такое состояние экономики, в котором значения совокупного выпуска и инфляции составят $(Y^{*};\pi^{*}))$? Может ли он уменьшить свои потери при таких ожиданиях? Рассчитайте уровень инфляции и выпуска, которые выберет Центральный Банк. (Подсказка: посмотрите на график, который вы построили в предыдущем пункте. Подумайте, в каком направлении уменьшается значение функции потерь, попробуйте построить различные кривые безразличия).
в)
Теперь вспомните, что по условию задачи экономические агенты формируют рациональные ожидания, т.е. в равновесии фактический уровень инфляции должен быть равен ожидаемому. Изобразите кривую Филлипса, для которой это условие выполнено. Какое равновесие установится в экономике? Возможна ли ситуация, в которой Центральному Банку лучше, а остальным экономическим агентам не хуже? Рассмотренный в этой задаче cюжет в экономической литературе получил название проблемы временной несогласованности монетарной политики. $^{1}$ Вероятно, если вы ранее сталкивались с кривой Филлипса, то вы рассматривали отрицательную взаимосвязь инфляции и безработицы. Однако несложно понять, например, в силу закона Оукэна, что это эквивалентно положительной взаимосвязи инфляции и отклонения выпуска от потенциального.
Решение
1. 2. Если $\pi^{e}=\pi^{*}$, то ограничение для Центрального Банка – кривая Филлипса PC1. Т.к. $L=\alpha(\pi-\pi^{*})^2-(Y-Y^{*})$, то при росте Y, значение функции потерь ЦБ снижается, поэтому чем правее расположена кривая безраличия, тем лучше для ЦБ. Поэтому при ограничении PC1 равновесие установится в точке B. 3. Равновесие должно установится в точке С: выпуск находится на уровне потенциального, а кривая Филлипса и кривая безразличия ЦБ касаются в этой точке. В равновесии выпуск находится на уровне потенциального: это следует из кривой Филлипса $\pi=\pi^{e}$, поэтому $Y=Y^{*}$. Кривая Филлипса и кривая безраличия ЦБ касаются, поэтому ЦБ невыгодно отклонятся и это равновесие. Теперь найдем точки B и C: Точка B: $$ L=\alpha(\pi-\pi^{*})^{2}-(Y-Y^{*})\to min $$ при $\pi−\pi^{*}=b\times (Y−Y^{*})$ (мы воспользовались тем, что $\pi^{e}=\pi^{*}$). Решая эту задачу (можно просто подставить ограничение в целевую функцию), получаем, что $Y_{B}=Y^{*}+\dfrac{1}{2\alpha b^{2}}; \pi_{B}=\pi^{*}+\dfrac{1}{2\alpha b}$. Значение функции потерь составит: $L_{B}=-\dfrac{1}{4\alpha b^{2}}$. Поэтому Центральный Банк улучшил свое положение, уменьшив функцию потерь. Точка С: Как мы показали выше, кривая безразличия и кривая Филлипса должны касаться в этой точке, а $Y=Y^{*}$. Наклон кривой Филлипса: $Y'_{\pi}=\dfrac{1}{b}$; Наклон кривой безразличия: $Y'_{\pi}=2\alpha(\pi-\pi^{*})$. Приравнивая наклоны, получаем условие для точки C: $\pi_{C}=\pi^{*}+\dfrac{1}{2\alpha b}.Y_{C}=Y^{*}. L_{C}=\dfrac{1}{4\alpha b^{2}}.$