Заемные средства и оптимум фирмы
Для производства 1 единицы уникального товара М нужна 1 единица сырья стоимостью 17 д. е. и 1 единица труда стоимостью 3 д. е. Денежные ресурсы, которые фирма может потратить на закупку факторов производства, однако, не безграничны. Всего на счету фирмы в настоящий момент есть L д.е. Фирма может привлечь дополнительные средства, взяв в банке краткосрочный кредит по ставке $r_c$, вернуть который нужно после продажи товара. Также часть средств можно не вкладывать в производство, а положить на депозит по ставке $r_d$ на тот же период. Если фирма назначит цену P на свою продукцию, то потребители будут готовы купить 52-P единиц товара M. Фирма максимизирует сумму денег, которая останется у нее после производства и продажи товара и расплаты с банком.
Подпункты
а)
Допустим, $r_c=r_d=10\%$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.
б)
Допустим, $r_c=20\%, r_d=10$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.
Решение
(а) Найдем функцию предельных издержек (с точки зрения суммы на счету в конце периода). «Производственные» предельные издержки, равны, очевидно, 17+3=20 д.е. за единицу товара. Если для выпуска данной единицы нужно привлекать заемные средства, то кроме этих 20 д.е. фирме придется заплатить и процент: $r_c \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е. Если для выпуска данной единицы не нужно привлекать заемные средства, то производя эту единицу, фирма потеряет процент, который она могла бы получить, держа средства на депозите: $r_d \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е. Таким образом, независимо от L, предельные издержки фирмы постоянны и равны 22 д.е. Функция предельного дохода также не зависит от L: $MR=52-2Q$. Пересекая предельный доход и предельные издержки, получаем, что, независимо от L, оптимальный выпуск равен 15. Итак, $Q^*(L)=const=15$ (б) . Вновь найдем (при данном L), функцию предельных издержек фирмы. Производственные издержки равны 20. Допустим, фирма решает произвести Q единиц продукции. Если денег хватает (при $20Q\le L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции теряет процент по депозитам. Предельные издержки равны $(1+r_c) \cdot 20=24$д.е. Если приходится привлекать заемные средства (при $20Q\ge L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции платит процент по кредиту, и предельные издержки равны д.е. Таким образом, функция предельных издержек имеет вид $$MC(Q)=\begin{cases} 22, & Q<\frac{L}{20}\\ 24 & Q>\frac{L}{20} \end{cases}$$ График этой функции представляет собой «лесенку» из двух ступенек, причем точка перехода с нижней ступеньки на верхнюю зависит от L. Нарисуем пунктиром также вертикальную линию, соединяющую две ступеньки в точке $Q=\frac{L}{20}$. При больших L (насколько больших, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на нижней ступеньке: $MR=52-2Q=22$, откуда $Q=15$. Это возможно, пока $15\le \frac{L}{20}$, то есть $L \ge 300$. При маленьких L(насколько маленьких, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на верхней ступеньке: $MR=52-2Q=24$, откуда $Q=14$. Это возможно, пока $14\ge \frac{L}{20}$, то есть $L\le 280$. Что же будет происходить при 280 Итак, оптимальный выпуск как функция от L задается уравнением $$ Q^*(L)=\begin{cases} 14, & L \le 280\\ \frac{L}{20}, & 280 < L < 300\\ 15, & L \ge 300 \end{cases} $$