Лицензионная
Выпуск фирмы (Q) следующим образом зависит от количества используемого капитала (K) и труда (L): $Q=10K^{0,5}L^{0,5}$. Цена единицы капитала равна 2 д.е., цена единицы труда равна 2 д.е. В краткосрочном периоде запас капитала фиксирован и равен 4 единицам. Кроме оплаты капитала и труда фирма должна платить за лицензию, лицензионный платёж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её выпуск в краткосрочном периоде будет положительным.
Решение
Подставим количество капитала, которое по условию задачи фиксировано: $Q=20L^{0,5}$ Выразим количество труда: $L=\dfrac{Q^2}{400}$ Так как цены ресурсов составляют по две денежные единицы за каждый, функция издержек фирмы (без учета лицензионного платежа) может быть записана так: $$TC=2L+2K=2\cdot\frac{Q^2}{400}+2\cdot4=\frac{Q^2}{200}+8$$ Таким образом, мы получили уравнение для общих издержек фирмы (пока без учета лицензии). (1 балл) У фирмы есть возможность выбрать нулевой выпуск или положительный. В первом случае она получит прибыль равную $PR(0)=-8$ (1 балл) Во втором случае её прибыль составит: ܲ$PR=P\cdot Q-\dfrac{q^2}{200}-8-50$ (1 балл) Относительно объёма выпуска это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, вершина этой параболы будет соответствовать максимальной прибыли. Найдем её: ܳ$Q^*=100P$. Прибыль при данном объёме выпуска составит: $$\begin{array}{l} PR(Q^*)=P\cdot 100P-\dfrac{(100P)^2}{200}-8-50 \\ PR(Q^*)=50P^2-8-50 & \textbf{ (2 балла)}\end{array}$$ Ясно, что фирма согласится выбирать положительный объём выпуска только в том случае, если прибыль от этого варианта не меньше, чем от нулевого. Иными словами, только в том случае, если: $PR(Q^*) \geq PR(0)$ (2 балла за идею сравнения прибылей) $$\begin{array}{l} 50P^2-8-50 \geq -8 \\ P \geq 1 & \textbf{ (3 балла)}\end{array}$$ Ответ: 1 д.е. Примечание: Этот результат можно получить ещё двумя путями. Во-первых, если максимизировать прибыль не относительно Q, а относительно L. В этом случае прибыль при положительном выпуске равна $PR=P\cdot 20L^{0,5}-2L-8-50$. Остальное решение и распределение баллов аналогичны. Во-вторых, можно находить граничную цену, используя тот факт, что она равна минимуму средних переменных издержек. В этом случае важно определить переменные издержки, включив в них лицензионный платёж (строго говоря, в такой ситуации экономисты называют лицензионный платёж квазипостоянными издержками, и их надо учитывать именно по той причине, что при нулевом выпуске они равны нулю):ܳ $$AVC=\frac{\dfrac{Q^2}{200}+50}{Q} \text{, } Q \gt 0$$ Тогда минимальное значение также получится равным 1. При этом решении участники олимпиады, корректно выписавшие минимизируемую функцию, должны получать 5 баллов. А те, кто нашёл минимальное значение этой функции и указал, что оно и является ответом, должны получать полный балл.