Тригоноляндия
Экономика Тригоноляндии, получившей независимость после обращения президента к нации в новогоднюю полночь с наступлением XXI века (т. е. 31 декабря 2000 года), развивается по кривой $Y(t)=\sin t+t/2$, где $t$ — количество лет, прошедших с момента получения независимости (например, в 2007 году было $t=6$). В каком году впервые в истории независимой Тригоноляндии экономический подъем сменился спадом? В каком году закончится (закончилась) первая рецессия? Чем она может (могла) быть вызвана?
Решение
Определим экстремумы функции реального ВВП: $$Y'(t)=\cos(t)+0{,}5=0$$ Следовательно, максимумы (точки пиков) соответствуют значениям $t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, а минимумы (точки дна) соответствуют значениям $t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ Таким образом, первый пик будет при $n=0$, $t=\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$, то есть в 2003 году (примерно, в феврале). С этого момента начнется первый спад. Первое «дно» будет при $n=1$, $t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\approx 4{,}189$ , то есть в 2005 году (примерно, в марте). С этого момента закончилась первая рецессия. Поскольку уменьшение реального ВВП сопровождалось (в соответствии с прогнозами МЭРТ) инфляцией (функция $P(t)$ на этом участке возрастает, в чем можно убедиться, взяв производную и подставив в нее значение $t = 4{,}189$), можно предположить, что рецессия была вызвана шоком совокупного предложения. Реальный ВВП в млрд. долл. (жирная линия) и уровень цен (тонкая линия) в Тригоноляндии. Ответ: В 2003 году. В 2005 году.