Три продавца и монопсония
На рынке услуг репетиторства по экономике города Старосуздаля работают три продавца, зависимости предельных издержек которых от количества проведенных занятий представлены функциями: $MC_1(q_1)=q_1+20$, $MC_2(q_2)=\sqrt{q_2}+10$, $MC_3(q_3)=q_3/2+5$ (в тыс. руб.). На рынке есть один покупатель, определяющий цену занятия экономикой (единую для всех продавцов). По этой цене продавцы оказывают ему услуги в том объеме, в каком считают нужным для максимизации своей прибыли. Какую цену он назначит, если стремится купить максимальное количество занятий, уложившись в бюджет 100 тыс. руб.? Считайте, что занятия у разных репетиторов для покупателя абсолютно взаимозаменяемы.
Решение
Нетрудно узнать, сколько фирмы будут готовы продавать товара при разных ценах. Функции предложения фирм и общая функция предложения выглядят следующим образом: $$q_1(P)= \begin{cases}P-20, \text{если $P\ge 20$;}\\0, \text{если $P<20$.}\end{cases}$$ $$q_2(P)= \begin{cases}(P-10)^2, \text{если $P\ge 10$;}\\0, \text{если $P<10$.}\end{cases}$$ $$q_3(P)= \begin{cases}2P-10, \text{если $P\ge 5$;}\\0, \text{если $P<5$.}\end{cases}$$ $$Q_s(P)= \begin{cases}P^2-17P+70, \text{если $P\ge 20$;}\\P^2-18P+90, \text{если $10\le P< 20$;}\\2P-10, \text{если $5\le P< 10$;}\\0, \text{если $P<5$.}\end{cases}$$ Если покупатель назначает цену $P$, то он может купить не больше $100/P$ единиц товара. Поскольку функция предложения везде возрастает, то для максимизации количества купленной продукции покупателю нужно назначить такую цену, при которой его затраты (равные цене, умноженной на количество, которое готовы продать производители) в точности равны 100. Составим три уравнения для трех ненулевых участков функции предложения. $$P^2-17P+70 = 100/P \quad (P\ge 20)$$ Решить это уравнение в явном виде непросто и корни получаются «плохие», но это и не нужно. Заметим, что при $P=20$ левая часть (130) больше правой (5). Чтобы оставаться на этом участке функции предложения ($P\ge 20$), мы можем только увеличивать цену, но при этом левая часть будет расти (это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $P=8{,}5$), а правая — уменьшаться, то есть значения двух выражений будут еще отдаляться друг от друга и никогда не станут равны. $$P^2-18P+90 = 100/P \quad (10\le P< 20)$$ Корень $P=10$, являющийся одним из пограничных, подходит. В левой части уравнения парабола с ветвями вверх (вершина при $P=9$), в правой — ветвь гиперболы. Весь допустимый интервал $10\le P < 20$ лежит на возрастающей ветви параболы, а значит, там может быть не больше одного пересечения, и мы нашли единственное. Итак, ($P=10; Q=10$) — точка на кривой предложения, при которой расходы покупателя равны 100. $$P^2-18P+90 = 100/P \quad (5\le P< 10)$$ В принципе, третье уравнение можно и не решать: если там и будут корни, то объем продаж уж точно не превысит 10. Если решить, то можно убедиться, что единственный положительный корень и есть при $P=10$.