Страна XY
В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности ‒ научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1 + 0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем. Например, если 10 единиц труда отправить на обеспечение технологического прогресса, то его уровень будет 20 %, а производительности, соответственно, станут равны 2,4 и 4,8 вместо прежних 2 и 4. Найдите уравнение кривой производственных возможностей страны XY.
Ответ
$y=450-2x$
Решение
Производственные функции можно записать, как $x=(1+0.02n)2L_x$ и $y=(1+0.02n)4L_y$ (по 2 балла за каждую производственную функцию). Весь труд будет использоваться, т. к. все функции монотонно возрастают, поэтому $L_x+L_y+n=100$ (1 балл за уравнение): $$\frac{x}{2(1+0.02n)}+\frac{y}{4(1+0.02n)}+L_n=100 \\y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$$ (2 балла за уравнение). Мы получили уравнение, описывающее доступные комбинации x и у при разных значениях $L_n.$ Чтобы получить уравнение КПВ, нужно сделать так, чтобы для каждого значения x значение $y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$ было максимальным. Видно, что наклон этой линии не зависит от Ln, поэтому разные значения этого параметра задают параллельные друг другу прямые, из которых нам нужно выбрать самую высокую. Для этого нужно максимизировать функцию $(1+0.02n)(100-n)$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз и корнями −50 и 100, значит, вершина параболы – точка максимума – будет находиться в точке 25 (посередине между корнями). Если $n=25$, то КПВ будет иметь вид $y=450-2x$ (3 балла). Ответ: $y=450-2x$