Два парламентария
В стране N функция спроса на товар А задаётся уравнением $Q=20-P$. Функция рыночного предложения на товар линейна. Известно, что её эластичность постоянна и равна 1, а в равновесии продаётся 10 единиц товара. Для того чтобы финансировать военные расходы, государство решает ввести налог на товар А. Однако в парламенте начались дебаты по поводу того, как следует вводить налог для получения большего налогового сбора. Один парламентарий считает, что надо ввести потоварный налог на покупателей в виде фиксированной платы за каждую купленную единицу товара. Другой — что следует облагать налогами производителей, притом ввести налог в виде процента от выручки. Считая, что все граждане и все фирмы уплатят налоги, а государство максимизирует налоговые сборы, ответьте на следующие вопросы:
Подпункты
а)
Какой оптимальный налог следует ввести государству, если устанавливать потоварный налог с покупателей, и какие налоговые сборы получится собрать?
Ответ
налог 10, сборы 50
б)
Какой оптимальный налог следует установить, если устанавливать процентный налог на выручку (следовать совету второго депутата), и какие налоговые сборы получится собрать?
Ответ
ставка $66\tfrac{2}{3}\%$, сборы 50
в)
Какой вариант, исходя из цели максимизации налоговых сборов, предпочтительнее?
Ответ
безразлично (сборы одинаковые)
Решение
Эластичность функции спроса постоянна, поэтому она задаётся уравнением $Q=k\cdot P$. В равновесии продаётся 10 единиц товара, поэтому k = 1 (так как на кривой есть точка Q = P = 10). 1) Когда вводится потоварный налог на покупателей, можно сказать, что уравнение спроса будет описываться так: $Q=20-(P+t)=20-P-t$ $$Q^S=P \\20-t-Q=Q \\Q=0.5(20-t)$$ Налоговые сборы вычисляются по формуле: $$T=t\cdot Q=0.5t(20-t)$$ Это парабола с ветвями вниз, поэтому есть максимум в вершине: $$t^* =10$$ $T=0.5\cdot 10\cdot 10=50$ (3 балла). 2) Когда вводится налог на выручку, меняются стимулы каждой фирмы. Теперь каждая фирма максимизирует функцию прибыли: Тогда в оптимуме Тогда уравнение новой кривой предложения будет иметь вид: $P\cdot(1-t)=Q$ $$Q=20-P \\Q=\frac{1-t}{2-t}\cdot 20$$ Тогда налоговые сборы вычисляются по формуле: T=tPQ (3 балла). Сделаем замену переменных. Введём параметр k. Параметр $k=P^d-P^s$. С другой стороны, k=t\cdot P Тогда имеет место равенство $20-Q-k=Q$ Или $Q=0.5/(20-k)$ В таком случае максимизируем функцию $0.5k/(20-k)$ Аналогично пункту 1) оптимальным является k = 10 P = 15. $$k=t\cdot P \\ 10=t\cdot 15$$ $t^*=2/3$ или же $66\frac{2}{3}\%$. Можно решать и без замены переменных, просто максимизируя функцию налоговых сборов. У пункта есть и более простое решение. Поскольку ясно, что любой налог в процентах от выручки − это эквивалент какого-то потоварного налога, найдём, какой процент от цены покупателя составляет старый налог. Цена покупателя была P = 20 − Q = 15, старый налог вводился по ставке 10, значит, эквивалентный адвалорный налог составляет 2/3 от выручки (66,(6) %). Сумма налоговых сборов аналогично пункту 1) равна 50 (3 балла). 3) Безразлично (1 балл). Ответ: 1) 10, налоговые сборы 50; 2)$66\frac{2}{3}\%$ , налоговые сборы 50; 3) безразлично.