Прикармливать или не прикармливать
Как-то раз пенсионер Иван Иваныч решил заработать денег (чем больше, чем лучше). Единственный способ сделать это — собирать грибы и ловить рыбу, а затем продавать их на рынке по сложившимся там ценам. В день он может работать не больше 5 часов (всё остальное время тратится на дорогу до рынка и обратно, а также на другие необходимые дела). Грибы он собирает с постоянной скоростью 1 кг/час. Если рыба прикормлена, то улов рыбы зависит от потраченного на ужение времени следующим образом: $x=2\sqrt{t_{x} } $ (где $t_{x} $ измеряется в часах, а $x$ — в килограммах). Если рыба не прикормлена, Иван Иваныч вообще ничего не поймает. Изготовление прикормки занимает 1 час; прикормка действует только на один день
Подпункты
а)
Откладывая по оси $x$ количество выловленной рыбы (в кг), а по оси $y$ — количество собранных грибов (в кг), изобразите множество всех пар $(x,y)$, доступных Ивану Иванычу для продажи (т.е. изобразите его область производственных возможностей)
б)
Пусть на рынке рыба продаётся по цене $P_{x} $ руб./кг, а грибы — по цене $P_{y} $ руб./кг. При каких $P_{x} $ и $P_{y} $ Иван Иваныч выловит ровно 1 кг рыбы?
Решение
а) Если потратить всё время на грибы, то получим точку $(0;5)$. Если же ловить рыбу, то час потратится на прикормку, и тогда останется 4 часа, которые нужно распределить между ужением рыбы и сбором грибов: $4=t_{x} +t_{y} $. Из условия следует, что $y=t_{y} $. Тогда, учитывая, что $x=2\sqrt{t_{x} } $, получаем уравнение КПВ для $x>0$: $4=\frac{x^{2} }{4} +y$. Если некоторая точка $(x,y)$ доступна Ивану Иванычу, то также доступны все точки с неотрицательными координатами, которые лежат ниже и/или левее (ведь он может не продавать часть улова). Ответ: б) Если Иван Иваныч продаёт набор $x,y$, то получает прибыль $\pi =xP_{x} +yP_{y} $. Поэтому все точки, лежащие на прямой $y=\frac{\pi }{P_{y} } -\frac{P_{x} }{P_{y} } x$, дают один и тот же уровень прибыли $\pi $. Чтобы максимизировать прибыль, нужно из всех доступных нам точек выбрать ту, что лежит на прямой с максимальным значением $\pi $ среди всех таких прямых, то есть на прямой, которая пересекает ось $y$ выше всех других прямых, имеющих наклон $-\frac{P_{x} }{P_{y} } $ и проходящих через точки области производственных возможностей. Например, если $\frac{P_{x} }{P_{y} } =1$, то оптимальных точек две: $(0;5)$ и $(2;3)$: Подвигав прямые с разным наклоном, нетрудно убедиться в следующем. Если $1<\frac{P_{x} }{P_{y} } \le2$ (в этом случае прямые круче, чем при $\frac{P_{x} }{P_{y}}=1$), то оптимальной будет точка касания прямой и КПВ — справа от точки $(2;3)$. Если $\frac{P_{x} }{P_{y} }>2$ (прямые ещё круче), то оптимальной будет точка $(4;0)$. Если же $\frac{P_{x} }{P_{y} } <1$ (т.е. прямые более пологие, чем при $\frac{P_{x} }{P_{y}}=1$), то оптимальной будет точка $(0;5)$. Таким образом, точка с координатой $x=1$ не может быть оптимальной ни при каких ценах. Ответ: ни при каких.