Сильная и независимая женщина
У Зои есть две радости в жизни: обнимашки и сладости. Также она иногда работает и получает доход в размере 50 000 у.е., который может потратить в своё удовольствие. Если она обнимается, но не ест сладкого, её удовольствие описывается функцией: $$U(h)=-5000+65h-3\sqrt{h}+2h^2$$ Если она поедает сладости в одиночестве, функция её удовольствия выглядит иначе: $$U(s) = −12000 + 2160s − 18s^2$$ Совмещать сладости и обнимашки она тоже любит, но только в определённой пропорции – за каждые два часа обнимашек ей надо съесть 3кг конфет, тогда каждый час будет приносить ей 1500 единиц удовольствия. Также во время обнимашек нужно поддерживать минимальную жизнедеятельность, на что уходит 500 у.е. в час. У источника обнимашек есть свои запасы конфет, из которых он готов отдавать Зое по полкило в час. Этих запасов хватит на первые 40 часов. В магазине конфеты стоят 750 у.е. за килограмм, но для оптовых покупателей цены другие – при покупке более 50 кг за раз килограмм конфет обходится всего лишь в 500 у.е. Каждую сэкономленную 1 у.е. Зоя оценивает в 1 единицу удовольствия.
Подпункты
а)
(5 баллов) Выпишите функцию удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек.
б)
(15 баллов) Постройте график бюджетного ограничения Зои (линию, показывающую, какие наборы товаров может заполучить Зоя на её доход, полностью расходуя его).
в)
(10 баллов) Найдите и объясните оптимальное распределение её дохода между сладким, обнимашками и сэкономленными деньгами, при котором она получит максимальное удовольствие. Не забудьте указать как распределение, так и величину удовольствия.
Решение
а) Функция удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек: $$U(h,s)=1500 \times min\left(h;\dfrac{2}{3}s\right)$$ Если в решении полезность от денег добавлена в функции удовольствия, то она принимает вид (с учетом акции и бонусов): $$U(h;s)= \begin{cases} 1500 \times min(h;\dfrac{2}{3}s)+50000-125h-750s, & s \lt 50,h \lt 40 \\ 1500 \times min(h;\dfrac{2}{3}s)+50000-250h-500s, & h \lt 40, s-\dfrac{h}{2}>50 \\ 1500 \times min(h;\dfrac{2}{3}s)+50000-500h-500(s-20), & h>40, s>70 \\ \end{cases}$$ Критерии оценивания: Использование функции $min ()$ – 3 балла Верные коэффициенты при h и s – 2 балла б) Критерии: Верный график – 15 баллов. Не учтены бонусные +20 конфет в верхней части графика – 9 баллов Вообще не учтены бонусные конфеты от обнимашек – 3 балла График отражает не максимально возможные комбинации – 3 балла Неверные точки разрыва – 1 балл Прямая линия бюджетного ограничения – 0 баллов в) Необходимо сравнить три точки, в которых $U(h)=max, h \in [0;100], U(s)=max, s \in [0;100], U(s;h)=max$ , с учетом бюджетного ограничения. Функция $U(h)$ на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 . $$U(h=100)=-5000+6500-3 \times 10+2 \times 10000=21470$$ Функция $U(s)$ – парабола с ветвями вниз, следовательно, максимум будет достигаться в вершине. $$\begin{array}{c}U'(s)=2160-18 \times 2s=0 \\ \mathbf{s=60} \\ U(s=60)=-12000+2160 \times 60-18 \times 60^{2}=52800\end{array}$$ Более того, Зоя сберегает 20000 у.е., что суммарно приносит ей 72800 единиц удовольствия. Максимальная доступная Зое точка, где соблюдена нужная пропорция конфет к обнимашкам при совместном потреблении - $(s=72,h=48)$. $U=min\left(48;\dfrac{2 \times 72}{3}\right) \times 1500= \textbf{72000}.$ Таким образом получается, что выгодней всего сильной и независимой Зое поедать конфеты в одиночестве и сберегать оставшиеся деньги.$$ $$ Если в решении удовольствие от сбережений было дополнительно введено в функции удовольствия, принцип решения остается тем же, но с другими значениями: Функция $U(h)$ на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 . $$U(h=100)=-5000+6500-3 \times 10+2 \times 10000=21470$$ Функцию удовольствия от конфет нужно рассматривать на двух участках, так как меняется цена. На каждом из участков найти максимум и сравнить между собой $$\begin{array}{c}U(s)=-12000+2160 \times s-18 \times s^{2}+50000-750s, s\lt50 \\ U'(s)=2160-36s-750 \Rightarrow s=\dfrac{235}{6} \\ \mathbf{U\left(s=\dfrac{235}{6}\right)=65612.5} \\ U(s)=-12000+2160s-18 \times s^{2}+50000-500s, s\ge50 \\ U'(s)=2160-36s-500 \Rightarrow s=\dfrac{415}{9} \lt 50 \\ U(s=50)=-12000+2160\cdot50-18\cdot50^{2}+50000-500\cdot50=76000\end{array}$$ Максимальное удовольствие от потребления в комплекте так же будет равно 72000. Таким образом, верный ответ – покупать 50 кг конфет по цене 500 и сберегать оставшиеся деньги. Критерии (вне зависимости от изменений в функциях удовольствия): Каждая найденная верно точка для сравнения – +1 балл Каждый верный уровень удовольствия в точке – +2 балла Верный ответ – +1 балл.