Продажа теплиц
Фирма «Теплон» является единственным производителем и продавцом складных теплиц в деревне Огурцово. Ее издержки, связанные с производством теплиц (в ден. ед.), описываются функцией $TC=10Q+2{,}5Q^2$, где $Q$ — количество теплиц, в штуках. Обратная функция спроса на теплицы в деревне Огурцово имеет вид $P=70-5Q$, где $P$ — цена теплицы, в ден. ед.
Подпункты
а)
Определите, какую максимальную прибыль может получить фирма «Теплон», реализуя теплицы на местном рынке в деревне Огурцово.
б)
У фирмы «Теплон» появилась возможность возить теплицы на продажу в областной центр – город Томатовск, где можно продать любое количество теплиц по цене 60 ден. ед. за штуку. Перевозка теплиц осуществляется грузовыми автомобилями, вместимостью не более 30 теплиц, при этом расходы на перевозку одной машиной составляют 1 ден. ед. на километр пути. Оцените, на каком максимальном расстоянии от деревни Огурцово должен находиться город Томатовск, чтобы фирме «Теплон» было выгодно везти туда теплицы.
Решение
а) Условие равновесия монополиста: $MC = MR \to 10 + 5Q = 70 - 10Q \to Q = 4$, $P = 50, \pi = 120$. б) Заметим, что транспортные затраты являются условно-постоянными, так как будут меняться с увеличением объема перевозок на каждые $30$ единиц продукции. Определим максимально возможный объем продаж фирмы на рынке областного центра, чтобы понять, есть ли риск попасть в зону скачка транспортных затрат, или же мы их можем рассматривать как постоянные. При данных ценах, функциях спроса и затрат объем продаж на рынке областного центра будет максимальным, если транспортные затраты равны нулю. В этом случае фирма выберет такие объемы продаж на местном рынке и рынке областного центра, при которых предельные доходы на этих рынках сравняются. Пусть $MR(Q_1)$ – предельный доход от продажи $Q_1$ единиц продукта $N$ на рынке в Огурцово, $MR(Q_2)$ – предельный доход от продажи $Q_2$ единиц продукта $N$ на рынке Томатовска. Так как рынок Томатовска является для фирмы «Теплон» рынком совершенной конкуренции, то $MR(Q_2) = P$, где $P$ – цена продукта на рынке Томатовска. После того как равенство достигнуто, можно увеличивать объемы продаж только на рынке Томатовска, пока не будет достигнуто равенство предельных доходов и предельных затрат $MC(Q_1 + Q_2) = P = MR(Q_1)$. Следовательно, нужно решить систему уравнений: $$
\begin{equation*} \begin{cases} MR(Q_1) = P \\ MC(Q_1 + Q_2) = P \end{cases} \end{equation*}
$$ $$
\begin{equation*} \begin{cases} 70 - 10Q_1 = 60 \\ 10 + 5(Q_1 + Q_2) = 60 \end{cases} \end{equation*}
$$ $$
\begin{equation*} \begin{cases} Q_1 = 1 \\ Q_2 = 9 \end{cases} \end{equation*}
$$ Таким образом, максимальный объем, который выгодно поставлять на рынок областного центра в город Томатовск при нулевых транспортных затратах равен $9$ единицам. Так что одной машины вполне достаточно в любом случае, и транспортные затраты можно считать постоянной (не зависящей от объема производства) величиной. А раз так, то их величина не влияет на решение об объемах производства и продаж на рынках. Итак, если фирма принимает решение расширить рынок сбыта и выйти на рынок областного центра, то ей необходимо будет производить $10$ единиц продукции, $9$ из которых следует поставлять на рынок областного центра в город Томатовск, а $1$ продавать на местном рынке в деревне Огурцово. В этом случае прибыль становится равна $9\cdot60 + 1\cdot(70 - 5) - 10\cdot10 - 2,5\cdot100 = 255$ ден. ед., то есть в результате расширения рынка сбыта возрастет на $135$ ден. ед. И следовательно, транспортные затраты не должны превышать этот прирост прибыли. А если транспортные затраты зависят только от расстояния, то $135=1\cdot s$, где $s$ – расстояние. Следовательно, фирма повезет свою продукцию в Томатовск, если он удален от Огурцово не далее, чем на $135$ км. Ответ: а) Максимальная прибыль составит $120$ ден. ед. б) Расстояние между Томатовском и Огурцово составляет не более $135$ км
\begin{equation*} \begin{cases} MR(Q_1) = P \\ MC(Q_1 + Q_2) = P \end{cases} \end{equation*}
$$ $$
\begin{equation*} \begin{cases} 70 - 10Q_1 = 60 \\ 10 + 5(Q_1 + Q_2) = 60 \end{cases} \end{equation*}
$$ $$
\begin{equation*} \begin{cases} Q_1 = 1 \\ Q_2 = 9 \end{cases} \end{equation*}
$$ Таким образом, максимальный объем, который выгодно поставлять на рынок областного центра в город Томатовск при нулевых транспортных затратах равен $9$ единицам. Так что одной машины вполне достаточно в любом случае, и транспортные затраты можно считать постоянной (не зависящей от объема производства) величиной. А раз так, то их величина не влияет на решение об объемах производства и продаж на рынках. Итак, если фирма принимает решение расширить рынок сбыта и выйти на рынок областного центра, то ей необходимо будет производить $10$ единиц продукции, $9$ из которых следует поставлять на рынок областного центра в город Томатовск, а $1$ продавать на местном рынке в деревне Огурцово. В этом случае прибыль становится равна $9\cdot60 + 1\cdot(70 - 5) - 10\cdot10 - 2,5\cdot100 = 255$ ден. ед., то есть в результате расширения рынка сбыта возрастет на $135$ ден. ед. И следовательно, транспортные затраты не должны превышать этот прирост прибыли. А если транспортные затраты зависят только от расстояния, то $135=1\cdot s$, где $s$ – расстояние. Следовательно, фирма повезет свою продукцию в Томатовск, если он удален от Огурцово не далее, чем на $135$ км. Ответ: а) Максимальная прибыль составит $120$ ден. ед. б) Расстояние между Томатовском и Огурцово составляет не более $135$ км