Динамическое изменение издержек
Однажды Старый Экономист обратился к своему другу, Юному Экономисту, с просьбой одолжить ему немного денег. При этом он объяснил, что нашел замечательных рабочих, которые способны к обучению, и с каждым годом работы на предприятии, работают все лучше и лучше. Но взамен на свой необычный труд, коллектив предприятия поставил свое условие: старик должен вначале каждого года покрывать все издержки, которые запланированы на этот год, а за это, в конце года, работники пообещали приносить неплохую прибыль.Прежде чем согласиться, Юный Экономист попросил предоставить данные о годовых издержках и спросе на продукцию этого предприятия.Достать их не составило труда, однако их вид удивил Юного Экономиста: $$TC_{год}=Q^2+Q\cdot(350-4t)+1553$$ где $t$ - какой год работает предприятие, соответственно $t\in\mathbb{Z_+}$ Дабы задача не теряла экономический смысл, будем считать, что максимальный срок работы такого предприятия составляет 85 лет. Спрос в течении всего времени остается неизменным: $${Q_d}=430-P$$ Немного подумав, Юный Экономист сказал: "Хорошо, я дам, столько денег, сколько тебе нужно,и вернуть ты эти деньги можешь, когда посчитаешь нужным, только учти, что за один год твой долг увеличивается в $$\sqrt[15]{1,055}$$ раз. Прошло несколько лет, и, в конце очередного года, два друга снова встретились, на этот раз чтобы уже наконец рассчитаться по долгам. Когда Юный Экономист, получив деньги, пересчитал их, он возразил, что денег немного меньше, чем должно быть. Старый Экономист ответил так: "Я решил, что ждать такой мизерной суммы еще год для тебя неразумно, поэтому я решил отдать всё, что у меня есть сегодня." Но такой расклад дел не устроил юного экономиста, и тогда, дабы не откладывать встречу на год, Старый Экономист отвернулся, а когда повернулся в его дрожащих руках лежал золотой зуб.Старик попытался сказать, сколько денег дадут за его зуб, но его слова уже трудно было разобрать. Сколько должен стоить золотой зуб, чтобы сделку можно было считать абсолютно честной Примечание : $${1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+...+{k^2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$
Решение
Первый этап. По условию $TC_{год}= Q^2+Q\cdot(350-4t)+1553$, тогда: $MC_{год}=2Q-4t+350$ Из уравнения спроса найдем MR: ${Q_d}=430-P \Rightarrow MR=430-2Q$ Так как предельная выручка убывает, а предельные издержки возрастают, условие $MR=MC$ будет соответствовать максимуму прибыли. $MR=MC\Rightarrow Q=t+20$ Подставив Q в соответствующие равенства, получим : $TC_{год}= -3t^2+310t+8953$ $TR_{год}= -t^2+390t+8200$ Тогда, соответственно $\pi_{год}= TR_{год}-TC_{год}=2t^2+80t-753$ Теперь рассмотрим годовой прирост издержек производства: $\Delta TC_{год}(t)=TC_{год}(t+1)- TC_{год}(t)$ $\Delta TC_{год}(t)= 307-6t$ Заметим, что функция $\Delta TC_{год}(t)$ является убывающей, а функция годовой прибыли напротив возрастает на множестве положительных $t$, то есть, если в некоторый момент времени $t^*$ годовая прибыль покроет дополнительные издержки связанные с запуском производства в новом году ($\pi_{год}\ge\Delta TC_{год}$), то и во все остальные годы, производство будет обеспечено средствами для бесперебойной работы. $\pi_{год}\ge\Delta TC_{год}\Rightarrow t\ge10$ Таким образом, в десятом году производство "уйдет в ноль" и, начиная с десятого года, издержки для запуска производства в новом году будут покрываться за счет полученной в текущем году прибыли. Теперь, чтобы посчитать одолженную сумму, будем рассуждать следующим образом: Одолженная сумма - это минимальная сумма необходимая для обеспечения беспрерывного производства вплоть до конца десятого года, то есть до того момента, когда фирма перестанет нуждаться в дополнительных вливаниях.Тогда, в начале первого года нам нужно $TC_1$, потом мы получим $TR_1$ тогда в начале второго года нам нужно $TC_2-TR_1$, в начале третьего года - $TC_3-TR_2$ и так далее. Тогда за время $t$ нам понадобится сумма S, такая что $$S(t)= TC_1+(TC_2-TR_1)+(TC_3-TR_2)+(TC_4-TR_3)+...+(TC_t-TR_{t-1})$$ Перегруппируем слагаемые, получим: $$S(t)=\underbrace{(TC_1-TR_1)}_{-\pi_1}+\underbrace{(TC_2-TR_2)}_{-\pi_2}+\underbrace{(TC_3-TR_3)}_{-\pi_3}+...+\underbrace{(TC_{t-1}-TR_{t-1})}_{-\pi_{t-1}}+TC_t$$ $$S(t)=TC_t-\sum_{i=1}^{t-1}\pi_i$$ При этом: $$\sum_{i=1}^{t-1}\pi_i=\sum_{i=1}^{t-1}2i^2+80i-753=\frac{(t-1)(2(t-1)^2+123(t-1)-2138)}{3}$$ Тогда в итоге: $$S(t)=-3t^2+310t+8953-\frac{(t-1)(2(t-1)^2+123(t-1)-2138)}{3}$$ Выше, мы получили, что $t_{min}=10$, значит $$S_{min}=S(10)= 14360$$ Второй этап. Из условия следует, что за год до того, как у Старого Экономиста в первый раз накопится сумма, которая соответствует (не меньше) текущей задолженности, он отдал "всё, что у него есть"( $\sum_{i=1}^{t}\pi_i $ ) плюс $P_зуба$, и данная сумма была равна долгу на тот момент. В условии содержится явная подсказка, указывающая на то, что такой момент времени $t$ хотя бы должен удовлетворять $$t~\vdots~15$$ Проверим, удовлетворяет ли $t=15$ данным условиям, если да, то докажем его единственность. $$\text{Сумма на руках}_{15} = 14360+\sum_{i=1}^{15}\pi_i = 14360 +\frac{15(2\cdot15^2+123\codt15-2138)}{3}=15145$$ Таким образом к концу 15-го года у Старого Экономиста будет 15145 ден. единиц. $$\text{Сумма долга}_{15} = 14360\cdot(\sqrt[15]{1,055})^{15}=15149,8 $$ Очевидно, на следующий год прирост прибыли покроет недоимку по долгам(долг растет ежегодно менее чем на 1%, а прибыль увеличится более чем на 1000д.е., то есть более чем на 6,25%) - то есть Старый Экономист сможет вернуть долг полностью. Теперь заметим, что при $t<15$ суммарная прибыль отрицательна т.е. $$\sum_{i=1}^{t}\pi_i <0$$ $$\text{Сумма на руках}= 14360+\sum_{i=1}^{t}\pi_i<14360$$ - значит вернуть долг в предыдущие годы было невозможно. Таким образом мы нашли $t=15$, удовлетворяющее условию, и доказали единственность такого момента, следовательно $$P_{зуба} = \text{Сумма долга}_{15} - \text{Сумма на руках}_{15} = 15149,8 -15145=4.8$$ Получили $P_зуба=4.8$ Ответ: $4,8$ Примечание: Математический оператор $\vdots$ означает делимость нацело.