Волшебные лампы
Шёл Путешественник по пустыне и вдруг наткнулся на Продавца волшебных ламп. Продавец предложил ему выбор: либо купить лампу за 130 золотых монет, либо за количество золотых в 10 раз меньших, чем число покупателей в этом году. На вопрос, сколько же покупателей было у Продавца в этом году он ответил: «Если к количеству моих покупателей прибавить 100, то полученное число будет без остатка делиться на количество месяцев году. Если количество моих покупателей возвести в квадрат, то одна десятая процента от полученного числа будет не меньше $110\%$ от количества моих покупателей. Если же каждый год число моих покупателей будет расти на $10\%$ по сравнению с предыдущим годом, то через 2 года оно не превысит 1600». За сколько монет Путешественник в итоге купит лампу?
Решение
Пусть количество покупателей равно $n$. Заметим, что это число обязательно должно быть целым (полчеловека, четверть-человека и т.д. не существует). Запишем математически условие: «Если количество моих покупателей возвести в квадрат, то одна десятая процента от полученного числа будет не меньше $110\%$ от количества моих покупателей». $$\begin{aligned} 0,001n^2 \geq 1,1n \textbf{ (2 балла)}\\ 0,01n \geq 11\\ n\geq 1100 \textbf{ (1 балл)}\end{aligned}$$ Теперь разберёмся со вторым условием. За два года количество покупателей увеличится в 1,21 раз $(1{,}1\times 1{,}1)$ – 1 балл . Значит: $$1,21n \leq 1600 \textbf{ (1 балл)}$$ Заметим, что при таком условии необходимо, чтобы $n$ делилось на 100, так как иначе увеличение каждый год на $10\%$ приведёт к нецелому числу человек, что невозможно. $\textbf{(2 балла)}$ Таким образом, с учётом указанных выше ограничений, $n$ может принимать значения: $1100, 1200, 1300$. ( рассуждения такого рода 1 балл ) Однако, так как $n + 100$ должно делиться без остатка на 12 (число месяцев в году), то остаётся только одно число – 1100. $\textbf{(1 балл)}$ Значит, стоимость волшебной лампы для Путешественника равна $1100/10 = 110$ золотых монет (1 балл) , что меньше, чем 130. То есть будет выбран именно этот вариант. ( 1 балл, если не забыли сказать, что 110 меньше 130 ) Ответ: 110