Рекламные наклейки
Компания-производитель воды рассматривает нестандартную бизнес-модель: продавать воду потребителям бесплатно, а доход получать исключительно от размещения рекламы на упаковке. Известно, что при нулевой цене спрос на воду не ограничен. За каждую размещённую наклейку фирма-покупатель рекламы платит производителю фиксированную плату t (ставку), которую производитель воды устанавливает одинаковой для всех. Издержки производителя воды описываются функцией $TC = 10Q + 2r$, где Q — количество произведённых бутылок, а r — общее количество размещённых на всех бутылках рекламных наклеек. Q и r - только целые. Также существуют технологические ограничения: на одной бутылке можно разместить не более 5 наклеек, и наклейки от одной и той же фирмы на одной бутылке дублировать нельзя. На разные бутылки можно клеить разные наборы рекламных наклеек (к примеру может быть одна бутылка с наклейками типа 1 и 2, а другая - с наклейками 2, 3 и 4). На рынке рекламы действуют две группы фирм-рекламодателей с разным спросом: У трёх фирм обратная функция спроса на размещение наклеек имеет вид: $t = 60 - 2r$ (для каждой фирмы, где r — количество наклеек, которое она размещает). У семи фирм обратная функция спроса: $t = 20 - 2r$. Определите оптимальную цену на одну наклейку, которую установит производитель.
Решение
1. Подсказка: Есть еще случай при t>20, когда на каждой бутылке располагается по 3 наклейки 2. Подсказка: В случае когда t<20 можно не искать строгое решение и решить задачу без ограничений на дублирование наклеек. Тогда все случаи, включая подходящие под ограничения будут рассмотрены. Заметим, что при ставке t > 20 покупать наклейки будут только 3 фирмы, а при ставке меньше 20 - все 10 фирм. Найдем максимальное значение прибыли на обоих участках: (1) При t>20: Спрос одной фирмы - $r=30- 0.5 t $, значит спрос всех 3-х - $r= 90 - 1.5 t, t=60-\frac{2r}{3}$ На этом участке спрос оказывают только 3 фирмы, значит на каждой бутылке будет не более 3-х наклеек (так как дублировать одинаковые нельзя). По ставке t все фирмы будут предъявлять спрос на одинаковое количество наклеек - значит на каждую бутылку можно будет наклеить 3 разные. Заметим тогда, что r будет кратно 3 (r-целое по условию). Запишем функцию прибыли: $$ \pi = TR-TC = t*r - (10Q+2r)=(60-\frac{2r}{3})*r-10\frac{r}{3}-2r $$ $$ \pi = \frac{r}{3}(180-2r-16) = \frac{r}{3}(164-2r)$$ Заметим, что это парабола ветвями вниз и максимум в вершине r=41. 41 не кратно трем, поэтому нам подойдут или r=42, или r=39 (так как это ближайшие точки кратные 3-м к вершине). Подставив эти значения в функции прибыли, получим, что при r=42 прибыль больше. Тогда этом случае: $$ \pi_{max} = 1120$$ $$t^{*}=32$$ (2) При t<20: Найдем суммарный спрос: У первой группы - $r= 90 - 1.5 t$, у второй группы - $r=70-3.5t$. Суммарный будет $r=160-5t$, $t=32-\frac{r}{5}$ Прооптимизируем прибыль на этом участке без ограничений (оставим только, что на 1-й бутылке не более 5 наклеек). Понятно, что все случае которые мы тогда рассмотрим будут содержать еще и те, которые подходят под ограничения, то есть мы гарантировано получим наибольшую прибыль на этом участке. Докажем, что оптимальной будет ситуация, когда на каждой бутылке по 5 наклеек: Допустим это не так, тогда есть 2 бутылки, на каждой из которых менее 5 наклеек. Обьеденим их. Если суммарно на них больше 5 наклеек (получится 1 бутылка с 5 наклейками и одна с остатком), то издержки не поменялись; если менее 5, то стало на 1 бутылку меньше и наши издержки уменьшились. Тогда это не оптимум и в оптимуме все бутылки будут с пятью наклейками и не более одной с менее, чем 5. Теперь вычислим прибыль, зная, что на каждой бутылке 5 наклеек: $$ \pi = TR-TC = t*r-(10Q+2r) = r(32-\frac{r}{5}))-10\frac{r}{5}-2r$$ $$ \pi = \frac{r}{5}(160-r-20)=\frac{r}{5}(140-r)$$ Максимум этой функции при $r=70$, прибыль тогда $\pi_{max} = 980$ Заметим, что в этом случае прибыль меньше, чем в (1), $980<1120$, поэтому оптимумом будет ставка t=32. Ответ: t=32