Мастерская «Столы & стулья»
Маленькая мастерская «Столы & стулья» специализируется на выполнении заказов по изготовлению столов и стульев. В мастерской работают три брата. Каждый из братьев за месяц готов изготовить максимум 40 стульев, однако их желания и возможности по изготовлению столов сильно различаются. Старший брат — на все руки мастер, может делать и столы, и стулья, при этом альтернативная стоимость изготовления 1 стола для него всегда равна 2 стульям. Средний брат тоже может изготавливать и столы, и стулья, однако он принципиально придерживается правила: столы и стулья он будет производить только комплектами — 1 стол и к нему 4 стула. Так и никак иначе! Младший брат не так давно начал работать в мастерской и всё никак не научится делать столы, хотя стулья у него получаются не хуже, чем у братьев.
Подпункты
а)
Покажите на графике в координатных осях $X$ и $Y$ множество производственных возможностей мастерской, указав на горизонтальной оси $X$ количество изготавливаемых стульев, а на вертикальной оси $Y$ количество изготавливаемых столов. Объясните логику ваших построений.
б)
В мастерскую обратились 3 клиента: Иванов, Петров и Сидоров. Иванов хочет заказать 5 столов и 110 стульев и готов за заказ заплатить 50 тысяч рублей. Петрову нужно 20 столов и 82 стула, за заказ он готов заплатить 70 тысяч рублей. Сидоров очень хочет приобрести 8 столов и 4 стула и готов заплатить 30 тысяч рублей. Очевидно, что выполнить все заказы мастера не смогут, кому-то придётся отказать. Исходя из возможностей мастерской, дайте обоснованные рекомендации по организации работы братьев-мастеров на следующий месяц, следуя которым мастерская сможет получить максимальный доход. Покажите решение на графике.
Решение
а) Множество производственных возможностей мастерской – это многоугольник ABCDEF. Логика построения этого множества может быть такой: отрезок FA – мастерская производит только столы, производством занимается только старший брат, максимально он может произвести только 20 столов (точка A); отрезок АВ – мастерская начинает производить и стулья, производством которых следует заняться среднему брату, при этом растет и количество производимых столов, так как он производит мебель только комплектами – в точке В старший брат делает 20 столов, а средний брат 40 стульев и 10 столов; отрезок ВС – к производству стульев подключается младший брат, максимально он может произвести 40 стульев, прироста столов уже быть не может – в точке С производится 30 столов и 80 стульев; отрезок СD – мастерская еще может нарастить производство стульев, но только за счет уменьшения производства столов старшим братом, при этом максимально может быть произведено 120 стульев – точка D; отрезок DE – если мастерская начнет сокращать производство столов, то прироста производства стульев не будет, так как столы делает только средний брат, а сокращая количество производимых столов, он одновременно сокращает и производство стульев; отрезок EF – старший и младший брат делают только стулья. б) Составим таблицу, которая покажет возможности мастерской, связанные с выполнением заказов заказы только заказ Иванова только заказ Петрова только заказ Сидорова заказ Иванова и Петрова заказ Петрова и Сидорова заказ Иванова и Сидорова заказ Иванова, Петрова и Сидорова столы 5 20 8 25 28 13 33 стулья 110 82 4 192 86 114 196 ожидаемый доход мастерской 50 70 30 120 100 80 150 возможность выполнения можно можно можно нельзя нельзя можно нельзя Возможность одновременного выполнения двух заказов требует обоснования. Одновременно выполнить заказ Иванова и Петрова нельзя (больше 120 стульев мастерская произвести не может). Одновременно выполнить заказ Петрова и Сидорова тоже нельзя. Предположим, что мастерская взялась бы за этот заказ, тогда 28 столов нужно изготовить силами старшего и среднего брата: средний брат сделает 10 столов, и 18 столов сделает старший брат. Стулья будет делать средний брат – 40 стульев в составе комплектов и младший брат – 40 стульев, старший же брат может сделать только (40-36)=4 стула, так как для него альтернативная стоимость 18 столов равна 18∙2=36 стульев. Итак, при производстве 28 столов мастерская максимально может изготовить только (40+40+4)=84 стула, а это меньше требуемых 86, т.е. полностью выполнить эти два заказа нельзя. А вот одновременно выполнить заказ Иванова и Сидорова можно (при производстве 13 столов мастерская максимально может изготовить ровно 114 стульев). При этом средний брат делает 10 столов и 40 стульев, младший брат делает только стулья (40 штук) Старший брат изготавливает еще 3 стола, а так как альтернативная стоимость 1 стола для него равна 2-м стульям, то изготовив 3 стола он «потерял» возможность изготовить (3∙2)=6 стульев, а значит он может изготовить всего 34 стула (40-6=34). Специализация братьев при выполнении парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) показана в таблице. столы стулья Старший брат 3 34 Средний брат 10 40 Младший брат нет 40 ВСЕГО 13 114 На графике показано, что парный заказ Петрова и Сидорова действительно выполнить нельзя (на его выполнение не хватает ресурсов), а заказ Иванова и Сидорова – можно, при этом ресурсы мастерской используются полностью. Примечание. Оценку возможности выполнения парных заказов можно произвести, определив уравнение прямой линии, проходящей через точки C и D. Координаты этих точек известны: у точки С (80, 30), у точки D (120, 10). Легко вывести уравнение прямой, проходящей через эти две точки, используя следующее соотношение: $\frac{Y-Y_D}{X-X_D}=\frac{Y_C-Y_D}{X_C-X_D}$. Подставив соответствующие значения координат точек C и D, получаем $ \frac{Y-10}{X-120}=\frac{30-10}{80-120}$. Это соотношение позволяет найти нужное нам уравнение прямой линии Y=70-0.5X Примечание: Критерии оценивания а) Показано на графике множество производственных возможностей мастерской – 8 баллов. Дано обоснование построения множества производственных возможностей мастерской – 7 баллов . б) Рассмотрены все возможности выполнения парных заказов – 6 баллов (по 2 балла за каждый парный заказ). Указано, чем занимается каждый из братьев при выполнении парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) и даны соответствующие пояснения – 3 балла . Показана на графике точка, соответствующая выбору мастеров принятого парного заказа (заказ Иванова+заказ Сидорова) – 1 балл .