Как в одной большой стране завод строили
Президент одной очень большой страны недавно решил, что пора заняться импортозамещением. Беда в том, что в стране до этого ничего не производилось, поэтому необходимой инфраструктуры в ней тоже не было. В связи с этим президент приказал своей команде обеспечить строительство завода, который бы позволял производить высокий рейтинг (обозначим как $X$) и стабильность (обозначим как $Y$). Команда, которой было поручено столь ответственное дело, решила провести тендер. Его выиграла пара иностранных специалистов Mr.Vasilich и Mr.Petrovich. Они сказали, что завод будет характеризоваться двумя параметрами, а именно размером телевизора (в метрах квадратных, обозначим как $A$), который будет подбадривать рабочих завода, и весом летающего медведя (в кг, обозначим как $B$), который будет парить по заводу и заставлять рабочих работать. КПВ завода зависит от этих параметров и описывается следующим образом: $y=\sqrt{(2a-x-10)(x+10)}+b-10$. Василич способен производить либо 8 кв. метров телевизора, либо 2 кг веса медведя, либо любую их линейную комбинацию. Петрович же способен производить либо 2 кв. метра телевизора, либо 8 кг веса медведя, либо любую их линейную комбинацию. Когда специалисты обратились к заказчику с вопросом, какие параметры нужно выбрать, тот впал в ступор, потому что он забыл спросить у президента, в каком количестве высокий рейтинг и стабильность нужно производить, а снова идти к президенту ему не хотелось. Немного подумав, он решил, что оптимальными будут такие $a$ и $b$, при которых множество доступных пар $(x;y)$, то есть площадь под КПВ, будет максимально, после чего делегировал нахождение этих параметров вам. Найдите оптимальные $a$ и $b$.
Ответ
$a=8$, $b=8$.
Решение
Найдем общее КПВ специалистов: Теперь преобразуем КПВ завода: $y=\sqrt{(2a-x-10)(x+10)}+b-10$ $y-b+10=\sqrt{(2a-x-10)(x+10)}$ Заметим, что $b\le 10 => y-b+10\ge 0$. Значит мы можем смело всё возвести в квадрат. $(y-(-10+b))^2=-(x+10)^2+2a(x+10)$ $(y-(-10+b))^2+(x+10)^2-2a(x+10)=0$ $(y-(-10+b))^2+(x+10)^2-2a(x+10)+a^2=a^2$ $(y-(-10+b))^2+(x-(-10+a))^2=a^2$ Это уравнение окружности с центром в $(-10+a;-10+b)$ и радиусом $a$. Рассмотрим это графически: (Строго говоря, там должны быть не окружности, а полуокружности без левой части. Однако на первую четверть графика это никак не влияет, а именно она нас и интересует) Центр окружности может лежать либо на ломаной ABC, либо левее и ниже неё. Очевидно, что площадь будет больше, если центр будет лежать где-то на прямой. Поместим его в точку $(-10;0)$ и поедем вправо. Очевидно, что до точки B площадь будет расти, после этой точки - падать. Значит максимальная площадь достигается при центре окружности в точке $(-2;-2)$ при $a=b=8$ Ответ: $a=8$ $b=8$