Задача 4 ОЧ-2016 (11 класс)
В стране А продается N товаров. Спрос на товар $i$ описывается функцией $P_i=a_i-b_i\cdot Q_i$, где $P_i$ – цена товара, $Q_i$ – кол-во проданных единиц, $a_i, b_i$ – константы, $i=1,\ldots ,N.$ Производство каждого товара $i$ осуществляет одна единственная фирма-монополист. Функция издержек производства $TC_i (Q_i )=c_i\cdot Q_i.$ Таким образом, товары различаются между собой тремя параметрами $\left(a_i, b_i, c_i\right)$. $\left(a_i\geq c_i\right)$ 1. Найдите общую выручку монополиста как функцию от параметров $\left(a_i, b_i, с_i\right).$ Предположим, наблюдатель не знает параметров $\left(a_i, b_i, с_i\right)$ на каждом рынке (в отличие от фирм), а знает лишь, что они линейные. Что, тем не менее, он может предположить относительно спроса и издержек фирм с большой выручкой по сравнению с фирмами с маленькой выручкой? 2. Найдите эластичность цены монополиста по предельным издержкам производства. Какие фирмы, большие или маленькие, сильнее (в процентном измерении) меняют цены в ответ на шоки издержек? Фирмы называем большими ли маленькими в зависимости от значения параметра а. 3. Предположим, что некоторые товары, продаваемые в стране А, производятся и импортируются из страны В. Из-за падения ВВП в стране В местное правительство решает девальвировать национальную валюту с целью стимулирования экспорта в страну А. Оцените эффективность данной экономической политики, если известно, что экспорт осуществляют только большие фирмы, а рынок в стране B устроен схожим образом с рынком в стране А. 4. Опрос производителей показал, что большинство фирм-экспортеров в стране В одновременно являются крупными импортерами: значительная часть их издержек производства приходится на покупку сырья в стране А. Как этот факт влияет на эффективность девальвации в стимулировании экспорта страны В? Каковы потенциальные издержки девальвации для страны В в этом случае?
Решение
1. $MR_i=MC_i$ (все функции хорошие, то есть экстремумы нужного типа достигаются в точках, полученных из необходимых условий). Поэтому $p_i=\dfrac{a_i+c_i}{2}, Q_i=\dfrac{a_i-c_i}{2b_i}, TR_i=\dfrac{a_i^2-c_i^2}{4b_i}.$ Отсюда следует, что выручка фирмы возрастает по $a_i$ и убывает по $c_i$ и $b_i$. Таким образом, большие фирмы продают более востребованые/качественные товары и/или продают их дешевле, чем маленькие фирмы. 2. Эластичность: $E=\dfrac{\partial P_i}{\partial c_i}\cdot\dfrac{c_i}{P_i}=\dfrac{c_i}{2P_i}=\dfrac{c_i}{a_i+c_i}$ Эластичность возрастает по $c_i$ и убывает по $a_i$. Поэтому, как следует из п.1, большие фирмы отличаются в среднем низкими издержками и высокими спросом, сильнее в ответ на шоки издержек менять цены будут маленькие фирмы. 3. Девальвация национальной валюты в стране В приведет к падению издержек производства экспортеров, выраженных в валюте страны А. В результате цена на экспортируемые товары снизится, и объём продаж в стране А возрастет. Однако поскольку экспортом занимаются большие фирмы, у которых эластичность цены по издержкам низкая, эффект девальвации на экспорт может оказаться незначительным. 4. Если часть издержек производства импортируемых в страну А товаров приходится на покупку товаров, произведенных в стране А, то чувствительность издержек, выраженных в валюте страны А, к изменениям курса снижается. Действительно, в предельном случае, когда все издержки приходятся на товары страны А, импортируемый товар фактически становится домашним. В результате, эффект девальвации на экспортные цены и объем экспорта страны В будет еще ниже, чем в пункте 3. При этом девальвация означает рост издержек производства, выраженных в валюте стран В, а значит, и рост цен (инфляцию) в стране В.