Пирог под кастрюлями
У Алисы и Боба есть пирог. Если пирог резать много раз, он крошится, поэтому больше одного раза резать его нельзя. Алиса предлагает: «Боб, давай я разрежу пирог на две части, ты выберешь себе одну из частей, а вторая достанется мне».
Подпункты
а)
Объясните, почему Алисе выгодно разрезать пирог так, чтобы половины были одинаковыми.
б)
Боб в ответ говорит: «Алиса, я придумал отличную идею. Я разрежу пирог на два куска и спрячу под двумя кастрюлями, один кусок под синей, другой под красной. Ты выберешь кастрюлю, и какой кусок под ней окажется, такой тебе и достанется». Под какую кастрюлю Боб положит кусок побольше, если он знает, что Алиса в подобных ситуациях чаще выбирает красную кастрюлю?
в)
Как Алисе надо выбирать кастрюлю, если она знает, что куски разные?
г)
Какую долю торта — большую или маленькую — получит Боб с большей вероятностью? Какую долю торта в среднем будет получать Боб? Что с ней произойдет, если Боб поделит куски чуть более справедливо?
Решение
Задачу интересно решать, если оба участника хотят пирог, и чем больше пирога, тем лучше. а) Боб при выборе из двух неравных частей выберет ту, которая больше. Если один из кусков будет меньше половины, Алисе достанется меньше, чем полпирога. Если половины будут равными, Алисе достанется полпирога, поэтому Алисе выгодно стараться, чтобы половины были одинаковыми б) Если Алиса чаще выбирает красную кастрюлю, Бобу выгодно ничего под нее не класть: Боб будет получать весь пирог с вероятностью, большей 1/2, то есть, средний размер пирога, получаемого Бобом, составит больше половины. Разумеется, если радость Боба от пирога нелинейна по объему, Боб может решить, что надежные полпирога (в случае равного распределения) выгодней, чем лотерея. в) Если Алиса считает, что Боб будет делить пирог поровну, то она может выбирать кастрюли как угодно. Если Алиса понимает, что Боб будет класть весь пирог под ту кастрюлю, которую она выбирает реже, то она выбирать кастрюли с разными вероятностями ей незачем, поэтому она будет выбирать кастрюли с равными вероятностями. г) Боб получит большую или маленькую части пирога с равными вероятностями. Поэтому в среднем Боб получит полпирога, вне зависимости от того, как именно он поделит пирог: никаких стимулов к справедливости у Боба нет, если он максимизирует средний объем пирога.