Двойной пирог
Агриппина и Валентин делят вкусный пирог. Пирог представляет собой прямоугольник 100 см × 10 см и может быть разрезан на две части только вдоль короткой стороны так, чтобы длина каждой из сторон составляла целое число сантиметров. Одна половина пирога (50 см × 10 см) состоит из птичьего молока, а другая — из бисквита, при этом Агриппина больше любит птичье молоко, а Валентин — бисквит. Каждый из ребят из двух кусков всегда предпочитает тот, в котором больше его любимого ингредиента, а если любимого ингредиента в кусках поровну, то тот, который больше по площади. Механизм дележа устроен следующим образом. Агриппина подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очередность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает пирог любым возможным способом на две части, после чего второй выбирает себе часть, а вторая часть остается разрезавшему. На сколько процентов площадь куска, доставшегося Агриппине, при благоприятном для нее исходе жребия будет больше, чем при неблагоприятном? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.
Решение
Пусть кто-то каким-то образом разрезал пирог. Тогда второй участник дележа будет поступать следующим образом. Если среди двух частей есть часть, в которой больше его любимого ингридиента, то он выберет именно эту часть. Если обе части содержат одинаковое количество его любимого ингридиента, то он выберет б о льшую по площади часть. Это означает, что тот, кто выбирает одну из двух частей, может гарантировать себе как минимум половину от общей массы своего любимого ингридиента при любом разрезе. Значит, тот, кто производит разрез, в лучшем случае может претендовать на 100 % любимого ингридиента плюс чуть меньше половины менее любимого ингридиента. Чтобы обеспечить себе максимально хороший результат, он должен разрезать пирог на два куска: 74 см $\times$ 10 см и 26 см $\times$ 10 см, где кусок 26 см $\times$ 10 см целиком состоит из нелюбимого ингридиента. Тогда разрезавший пирог получит кусок площадью 740 $\text{см}^2$ (причем он получит всю часть со своим любимым ингридиентом), а выбирающий одну из двух частей получит кусок пирога площадью 260 $\text{см}^2$. Поэтому при удачном жребии площадь доставшегося пирога будет на $$\frac{740-260}{260}\times 100 \%\approx 185 \%$$ больше, чем при неудачном. Ответ: 185 %