Крокодилы, кокосы и эластичность КПВ
Робинзон и Пятница собирают кокосы и ловят крокодилов, причем альтернативные издержки ловли одного крокодила для каждого из них постоянны. Максимально возможные количества собранных ими вместе кокосов и пойманных ими вместе крокодилов одинаковы и равны $100$. За 27 лет на острове сложилось эффективное разделение труда: Робинзон ловит максимально возможное для себя количество крокодилов, а Пятница собирает максимально возможное для себя число кокосов. Однако известно, что если они захотят увеличить количество собираемых ими кокосов на $30\%$, то им придется отказаться от $70\%$ крокодилов. С другой стороны, для того, чтобы поймать на $30\%$ больше крокодилов, им придется пожертвовать $45\%$ кокосов. Каковы альтернативные издержки ловли одного крокодила для Робинзона и Пятницы соответственно?
Ответ
Робинзон — 0,5 кокоса; Пятница — 1,75 кокоса.
Решение
Альтернативные издержки для каждого из островитян постоянны $\Rightarrow$ КПВ каждого из них линейна $\Rightarrow$ общая КПВ имеет следующий вид: Первоначально экономика островитян находится в точке полной специализации – в точке $X$. Пятница собирает кокосы, а Робинзон ловит крокодилов, поэтому участок $XE$ общая КПВ «наследует» от Пятницы, а участок $BX$ - от Робинзона. При увеличении числа кокосов мы будем двигаться по отрезку $BX$ прямой $BF$. С одной стороны, эластичность линейной функции, графиком которой является прямая $BF$, равна в точке $X$ $E = \frac{{\Delta \% (Croco)}}{{\Delta \% (Coco)}} = \frac{{ - 70\% }}{{30\% }} = - \frac{7}{3}$. С другой стороны, эластичность трансформации крокодилов в кокосы равна в этой точке, по аналогии с эластичностью линейной функции спроса, соотношению длин отрезков $FX$ и $XB$: $\left| E \right| = \frac{{FX}}{{XB}}$. Значит, $\frac{{FX}}{{XB}} = \frac{{OC}}{{CB}} = \frac{7}{3} \Rightarrow OC = 70,{\rm{ }}CB = 30$. При увеличении числа крокодилов мы будем двигаться по отрезку $XE$ прямой $AE$. Эластичность линейной функции, графиком которой является прямая $AE$, равна в точке $X$ $\frac{{\Delta \% (Croco)}}{{\Delta \% (Coco)}} = \frac{{ - 30\% }}{{45\% }} = - \frac{2}{3}$. С другой стороны, она равна по модулю $\frac{{EX}}{{XA}}$, значит $\frac{{EX}}{{XA}} = \frac{{ED}}{{DO}} = \frac{2}{3}$, откуда $ED = 40,{\rm{ }}DO = 60$. Альтернативные издержки для Робинзона равны наклону $BX$, то есть $\frac{{BC}}{{OD}} = \frac{{30}}{{60}} = 0,5$; Для Пятницы альтернативные издержки равны наклону $XE$, то есть $\frac{{OC}}{{DE}} = \frac{{70}}{{40}} = 1,75$. Ответ: $0,5$ кокоса; $1,75$ кокоса. Примечание: Приведенное решение является достаточно коротким, но и достаточно оригинальным. Существуют и более стандартные (но и более трудоемкие) способы решить эту задачу. Например, чисто аналитический: можно выписать в общем виде уравнение кусочно-ломаной КПВ и восстановить параметры этого уравнения, исходя из имеющихся данных.