Какой товар, такие и издержки
Компания «Ёлки-иголки» занимается производством новогодних ёлок. На недавнем собрании обсуждались неудачные продажи в этом году: прибыль была отрицательной и составила − 5 условных единиц. Компания необычная, её кривая предельных издержек имеет нестандартный вид: $$MC=\begin{cases}20-2Q, & \;\;0\leq Q\leq5 \\ \dfrac{7Q}{10}-\dfrac{1}{2}, & \;\;5\lt Q \leq15 \\ 30-Q, & 15\lt Q\leq 20 \\ \dfrac{2Q}{5}, & 20\lt Q\leq 25 \\ 20, & \;Q\gt25\end{cases}$$ Кривая предельной выручки также имеет похожий специфический вид: $$MR=\begin{cases}2Q, & \;\;0\leq Q \leq5 \\ \dfrac{41}{2}-\dfrac{7Q}{10}, & \;\;5\lt Q \leq15 \\ Q-10, & 15\lt Q \leq20 \\ 20-\dfrac{2Q}{5}, & 20\lt Q \leq 25 \\ 0, & \;Q\gt 25\end{cases}$$ Причины столь плохих результатов были выявлены почти сразу: главный экономист компании пропускал лекции по микроэкономике в университете и что-то слышал про правило MR = MC, но совершенно не умеет им пользоваться. К тому же он перепутал графики MR(Q) и MC(Q)! Совет сразу же уволил его и открыл вакансию нового главного экономиста, на которую Вы теперь претендуете. Все кандидаты должны решить следующие задачи (фирма может продавать нецелое количество ёлок: кому-то нужны только иголки):
Подпункты
а)
(5 баллов) Изобразить правильный график предельных издержек и предельной выручки.
б)
(7 баллов) Найти количество ёлок, которое фирма произвела в прошлом году.
в)
(13 баллов) Посчитав ожидаемую прибыль от выбранного им выпуска, бывший главный экономист решил воспользоваться правилом «Если нет разницы – зачем производить больше?». Сколько произвела фирма по его совету с учётом этого правила?
г)
(5 баллов) На сколько нужно изменить выпуск, чтобы наконец-то производить оптимальное количество ёлок (в сравнении с пунктом в)? Какую прибыль получит фирма при таком выпуске?
Решение
а) Для начала построим график издержек: (3 балла) Примечание: за неточности в графиках возможно снятие 1-2 баллов в зависимости от ошибки. б) Вполне очевидно, что фирма зарабатывает, когда график MR выше, чем MC, и терпит убытки, когда все наоборот. За идею о вычислении прибыли - 2 балла Можно найти, сколько фирма будет зарабатывать. Для этого рассчитаем площади между кривыми MR и MC. $S_{1}=50, S_{2}=70,S_{3}=25,S_{4}=10.$ За непосредственное вычисление прибыли в точках MR=MC - 3 балла. Теперь посмотрим, какие прибыли могла получать фирма в точках MR=MC. $$\pi(Q)=\begin{cases} -50,&Q=5 \\ 20,&Q=15 \\ -5,&Q=20 \\ 5,&Q=25 \\ \end{cases}$$ За вывод о том, что $Q^{*}=20 - 1 балл.$ Значит, в этом году фирма производила $Q=20$ елок. Примечание: возможно решение через вычисление функций общей выручки и общих издержек, НО стоит понимать, что по функции MR можно восстановить TR только с точностью до константы, которая будет различна на всех предложенных отрезках. в) Если экономист решил воспользоваться правилом «Если нет разницы – зачем производить больше», то он должен был найти уровни выпуска, приносящие такую же прибыль, и выбрать наименьший из них. Проще всего это сделать нарисовав график прибыли и прямую $\pi=−5$, и найдя значение выпуска в точке с наименьшим Q. Нам подходят первые две точки, (в третьей точке MR=MC). Но по условию задачи мы должны брать минимальное Q, поэтому правильным ответом будет $Q_{1}=5-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$, которое можно вычислить как площадь трапеции. Пусть при произвольном $Q^{*}$ площадь между кривыми MC и MR будет равна 5, тогда $S=\dfrac{Q^{*}(20-4Q^{*})}{5}=5$, решив квадратное уравнение и отбросив больший корень находим правильный ответ: $Q^{*}=5-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.$ За вычисление правильного ответа - 5 баллов. За обоснование того, что это именно он (сравнить со значением во второй точке или показать через график выше) - 3 балла г) Из предложенного выше решения видно, что оптимальным выпуском для фирмы является $Q^{*}=15$, в этой точке фирма заработает $\pi=20$. Тогда фирме нужно увеличить свой выпуск на $10+\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ За определение оптимального количества - 2 балла За вычисление правильного ответа - 1 балл Примечание: Задача стоила 30 баллов в 8-9 классах и 20 баллов в 10-11 классах