Оч. задача 4 НОЦ ВолНЦ РАН (10-11 класс, часть Б)
В 2015 году на приобретение 2 кг яблок и 6 кг бананов было необходимо потратить 800 руб. Если в 2016 году цена на бананы повысится на 10%, а на яблоки снизится на 10%, то за то же количество фруктов нужно будет заплатить 840 руб. Сколько стоил 1 кг яблок и 1 кг бананов в 2015 году, и сколько будет стоить 1 кг яблок и 1 кг бананов в 2016 году?
Решение
Стоимость 1 кг яблок в 2015 году примем за $x$, а 1 кг бананов примем за $y$. (1 балл) Составим уравнение стоимости продуктов в 2016 году: $2x + 6y = 800$ (1 балл) С учетом изменения цены составим уравнение стоимости продуктов в 2016 году: $y + 0,1y$ – новая цена на бананы $x – 0,1x$ – новая цена на яблоки $2*(x – 0,1x) + 6*(y + 0,1y) = 840 \Rightarrow 1,8x + 6,6y = 840$ (2 балла) Зная изменения цены в 2016 году, составим систему уравнений $2x + 6y = 800$ $1,8x + 6,6y = 840$ (2 балла) Выразим $x$ из первого уравнения $x = 400 – 3y$ и подставим во второе уравнение: $1,8*(400 – 3y) + 6,6y= 840$ (2 балла) Найдем $y$: $720 – 5,4y + 6,6y = 840$ $1,2y=120$ $y=100$ Стоимость 1 кг бананов 2015 году – 100 руб. (3 балла) Найдем стоимость яблок в 2015 году: $x = 400 – 3*100 = 100$ руб. (1 балл) Найдем стоимость бананов в 2016 году: $y + 0,1y = 100 + 10 = 110$ руб. (1 балл) Найдем стоимость яблок в 2016 году: $x – 0,1x = 100 – 10 = 90$ руб. (1 балл) Ответ: стоимость 1 кг яблок в 2015 году – 100 руб., в 2016 году – 90 руб.; стоимость 1 кг бананов в 2015 г. – 100 руб., в 2016 году – 110 руб.