Задача-исследование
На рынке некоторого товара функция спроса строго убывает, а функция предложения строго возрастает. Государство вводит потоварный налог на каждую единицу товара. Может ли случиться так, что при любой положительной ставке налога налоговые сборы государства оказываются одинаковыми (не зависят от ставки)? Если да, приведите пример таких функций спроса и предложения и докажите, что они удовлетворяют условию задачи. Если нет, строго докажите, что это невозможно.
Решение
Налоговые сборы равны $T(t)=tQ(t)$. Чтобы они не зависели от ставки налога $t$, необходимо, чтобы в равновесии выполнялось $$ tQ(t)=K, $$ где $K>0$ — константа. Тогда $$ Q(t)=\frac{K}{t}. $$ С другой стороны, при потоварном налоге разность между ценой спроса и ценой предложения в равновесии равна $t$, поэтому удобно подобрать функции так, чтобы $$ P_d(Q)-P_s(Q)=\frac{K}{Q}. $$ Рассмотрим функции: $$ P_s(Q)=\frac{Q}{Q+1}, \qquad P_d(Q)=\frac{Q}{Q+1}+\frac{1}{Q}, \qquad Q>0. $$ Проверка монотонности: $$ P_s'(Q)=\frac{1}{(Q+1)^2}>0 \quad \Rightarrow \quad P_s(Q)\ \text{строго возрастает}. $$ $$ P_d'(Q)=\frac{1}{(Q+1)^2}-\frac{1}{Q^2} =\frac{Q^2-(Q+1)^2}{Q^2(Q+1)^2} =-\frac{2Q+1}{Q^2(Q+1)^2}<0, $$ следовательно, $P_d(Q)$ строго убывает. Разность между ценой спроса и предложения: $$ P_d(Q)-P_s(Q)=\frac{1}{Q}. $$ $$ T(t)=tQ=t\cdot \frac{1}{t}=1. $$ Ответ: $$ P_s(Q)=\frac{Q}{Q+1}, \qquad P_d(Q)=\frac{Q}{Q+1}+\frac{1}{Q} $$