Завтрак для ума
Беззаботный студент Максим всегда хотел хорошо учиться, но почему-то делать для этого ничего не хотел. Ему казалось, что будь он хоть немного умнее, то все получалось бы само собой. Поэтому он был невероятно счастлив, обнаружив в газете "Пустячок" весьма интересную статью о пользе сладкого для ума. «Решено! Теперь я буду питаться исключительно сладким!» – подумал он сначала. Однако хорошо все обдумав, решил ограничиться только «полезными» завтраками. После некоторых раздумий наш герой определил и состав «чудо-завтрака». В него вошли сладкий чай и сахарные пончики. Однако Максим никак не может решить сколько именно ему кушать. Именно это предстоит сделать Вам. Потребление как одной чашки чая, так и одного пончика занимает ровно 5 минут. Считаем, что студент обязательно потребляет единицу блага полностью, прежде чем приступить к следующей (т.е. он не может 2,5 минуты потратить на пончик, а потом оставить его и начать пить чай) Кроме того, удовольствие, которое Максим получает от потребления единицы блага, тем меньше, чем позже эта единица потреблена (ведь и чай, и пончики имеют свойство остывать со временем). Полезность $i$-ого потребленного пончика: $U_i = 53 - 3(i-1) - 0,2(t+5)$, полезность $j$-той чашки чая: $U_j = 46 - 5(j-1) - 0,2(t+5)$, где $t$ - время прошедшее от начала завтрака до начала потребления данной единицы ($t$ в мин). Максим уверен, что положительный эффект для ума тем больше, чем больше полученное от сладкого удовольствие
Подпункты
а)
Определите количественный состав завтрака студента и размер, полученного удовольствия
б)
Сколько различных наборов чая и пончиков соответствуют максимальному уровню удовольствия.
Решение
а) Т.к. Максим уверен, что размер положительного эффекта прямо пропорционален размеру полученного от потребления сладкого удовольствия, то он нацелен максимизировать общую полезность от потребления благ. Выразим функцию общей полезности через $П$ и $Ч$ (количества потребленных пончиков и чашек чая соответственно) $$TU = \sum_{i=1}^{П}{U_i} + \sum_{j=1}^ЧU_j$$ Заметим, что в каждый определенный момент времени потери полезности, связанные с тем, что сладости «остывают», равняются $0,2(t+5)$, вне зависимости от потребляемого блага. Именно поэтому при подсчете общей полезности их можно отделить от $U_i$ и $U_j$. Обозначим эти потери за $T$. $T_{min} = T(0) = 1, T_{max} = T(П+Ч-1) = 0,2( 5(П+Ч-1) + 5) = П+Ч$, кроме того увеличение потребления на 1 ед увеличивает $T$ на 1. Тогда потери полезности за весь завтрак составят $$\sum_{T=1}^{П+Ч}T$$ Таким образом, функция общей полезности преобразуется в следующую: $$TU = \sum_{i=1}^{П}{(56 - 3i)} + \sum_{j=1}^Ч(51 - 5j) - \sum_{T=1}^{П+Ч}T$$ $$TU = 56П - 3\sum_{i=1}^Пi + 51Ч - 5\sum_{j=1}^Чj - \sum_{T=1}^{П+Ч}T$$ $$TU = 56П - \frac{3(1+П)П}{2} + 51Ч - \frac{5(1+Ч)Ч}{2} - \frac{(1+П+Ч)(П+Ч)}{2}$$ Раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые, получим: $$TU = 54П - 2П^2 - ПЧ + 48Ч - 3Ч^2$$ Приравниваем к нулю частные производные по $П$ и $Ч$ и находим оптимальные количества благ. *Тот же результат возможно было получить подбором, определяя для каждого момента времени благо, приносящее Максиму большее удовольствие. б) Ответ, конечно, очевиден - $C_{18}^6$. Но главное здесь вовсе не верное число... В отличие от пункта а), пункт б) был нацелен больше не на вычисления, а на рассуждения. Что же предположительно решающий должен был заметить, подсчитывая перестановки? 1) Получаемая полезность не зависит от порядка потребляемых благ, хотя полезность каждого отдельного потребленного блага от этого порядка зависит. 2) Поступая в некоторые моменты времени «иррационально», в конечном счете Максим достигает максимума общей полезности (причем, путей, включающих «иррациональные» шаги, большая часть от 18 тысяч). * Под «иррациональным» поступком подразумевается: в определенный момент времени совершенный выбор, результатом которого является потребление блага, «дающего» меньшую полезность, чем его альтернатива. Вы можете предложить объяснение этим парадоксам в комментариях. Позже они будут добавлены к решению) Ответ: а) 12 пончиков и 6 чашек чая; б) 18564