Задача 2 НОЦ ВолНЦ РАН (Заочный тур, 9 класс, часть Б)
Фермер собирает яблоки и груши для приготовления шарлотки. Для приготовления одной шарлотки нужно одно яблоко и три груши. Занимаясь только сбором яблок, фермер может собрать 76 яблок в месяц; занимаясь только сбором груш, он может собрать 114 груш в месяц, а если бы кто-нибудь поставлял ему ингредиенты и он мог заниматься только готовкой, то приготовил бы за месяц 95 шарлоток. Альтернативные издержки занятия любым видом деятельности постоянны. Какое максимальное количество шарлоток в месяц может фактически приготовить и съесть фермер?
Ответ
20 шарлоток.
Решение
1. Пусть х – количество часов в месяце, которым располагает фермер. 2. Тогда, учитывая все максимальные возможности фермера, 76Я = 114Г = 95Ш = X, где Я, Г и Ш – время, затраченное на сбор одного яблока, сбор одной груши и приготовление одной шарлотки соответственно. 3. На сбор одного яблока фермер тратит X/76 часов; сбор одной груши – X/114 часов; занимаясь приготовлением одной шарлотки – X/95 часов. 4. Таким образом, затраты времени на сбор ингредиентов и производство одной шарлотки составят: $\frac{x}{76} +3\frac{x}{114}+\frac{x}{114} = \frac{57x}{1140} = \frac {x}{20}$ Следовательно, за х часов максимально возможно изготовить 20 шарлоток. Ответ: 20 шарлоток.