Балда и Поп
Поп нанял работника Балду молоть зерно в муку. Из одного мешка зерна получается одна мера * муки. Балда согласен размолоть первый мешок за 3 рубля; за второй мешок он просит на 10 копеек больше, за третий мешок еще на 10 копеек больше и т. д. Мешок зерна стоит на рынке 5 рублей, готовая мера муки — 10 рублей. Бюджет Попа составляет 479 рублей. Какое максимальное количество мер муки сможет заготовить поп? * Мера — русская народная единица емкости для сыпучих тел, соответствовавшая приблизительно 1 пуду зерна.
Решение
Предположим, поп купит на рынке х мешков зерна и отдаст их Балде для того, чтобы размолоть в муку. Мера муки, полученная из х-го по счету мешка зерна, обойдется попу в сумму, равную: 5 + 3 + 0,1 · (х – 1) = 8 + 0,1 · (х – 1). Число х поп выберет с таким расчетом, чтобы последняя мера муки, полученная от Балды, стоила попу столько же, сколько и готовая мера муки, которую можно купить на рынке, т.е. 8 + 0,1 · (х – 1) = 10. (15 баллов) х = 21, то есть 21-я мера стоит одинаково вне зависимости от способа ее получения, то есть можно дать Балде 20 или 21 меру. Для того чтобы перемолоть 21 мешок муки, поп заплатит Балде сумму, равную: 3 · 21 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,1 · (х – 1) = 3 · 21 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,1 · 20 = 3 · 21 + $\frac{0,1+0,1*20}{2}$ · 20 = 84. Или : если поп попросит Балду перемолоть 20 мешков, то заплатит ему сумму, равную 3 · 20 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + … + 0,1 · 19 = 3 · 20 + $\frac{0,1+0,1*20}{2}$ · 20 = 79. (5 баллов) Кроме того, поп потратит на зерно, которое отдаст молоть Балде, 5 · 21 = 105 рублей (для случая, когда Балда мелет 21 мешок) или 20*5=100 рублей (если Балда мелет 20 мешков). Таким образом, 21 мера муки, полученная из зерна, будет стоить попу: 84 + 105 = 189 рублей (или 20 мер будут стоить 79+100=179 рублей). За вычетом этой суммы у него остается еще: 479 – 189 = 290 рублей или 479-179=300 рублей. На эти деньги поп может еще приобрести 29 готовых мер муки или 30 мер муки. Итого поп заготовит: 21 + 29 = 20 + 30 = 50 мер муки. (5 баллов) Ответ: 50 мер