Динамика доходов
Несмотря на развитие социальных лифтов, таких как образование, межпоколенческая социальная мобильность остаётся весьма ограниченной во многих странах. Так, для американца, родившегося в семье из числа 20% наиболее бедных, шанс иметь доход на уровне 20% самых богатых составляет всего лишь около 7%. В то же время его сверстник, родившийся в семье из 20% самых богатых, станет богаче, чем 80% его сверстников с вероятностью 35%. В этой задаче мы проанализируем то, как зависимость доходов ребёнка от доходов родителя влияет на программы борьбы с бедностью. В стране N. доход родителей однозначно определяет доход детей. В таблице ниже для всех возможных значений дохода родителей (в тугриках) указано значение дохода их детей (в тугриках). Эта зависимость сохраняется из поколения в поколение
Подпункты
а)
Доход Анны, Бориса и Виктории равен 19, 20 и 21 тугрикам соответственно. Чему будут равны доходы их внуков? Чему будут равны доходы их потомков 100 поколений спустя?
б)
Назовём стационарным состоянием такой уровень дохода, который может поддерживаться неизменным из поколения в поколение сколь угодно долго. Каковы стационарные состояния в стране N.? Теперь рассмотрим страну M., в которой зависимость дохода детей $(y)$ от дохода родителей $(x)$, оба из которых указаны в зайчиках, описывается следующей функцией $$ y = \begin{cases} \dfrac{x^2}{30}, x \in [0; 30] \\ 30, x \in (30; 100) \\ \dfrac{(x-100)^2}{30} + 100, x \geq 100 \end{cases} \
в)
Каковы стационарные состояния дохода в стране M.?
г)
Какой заработок будет у трёх ближайших поколений, если родители зарабатывают 15 зайчиков? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов?
д)
Пусть доход родителей равен $a \geq 0$ зайчикам. Какой заработок будет у трёх ближайших поколений? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов? Ответ может зависеть от значения параметра $a$. Назовём бедным человека, доход которого ниже прожиточного минимума. Изначально прожиточный минимум установлен на уровне 30 зайчиков
е)
Рассмотрим индивида с уровнем дохода $m$ зайчиков, меньшим, чем прожиточный минимум. Программа помощи бедным повышает доход индивида на $S$ зайчиков на всё время жизни индивида. При каких значениях $m$ и $S$ программы будет достаточно для того, чтобы все потомки индивида не были бедными? Может ли быть такое, что дети индивида не будут бедными, а внуки — будут?
ж)
Как изменится ваш ответ на вопросы предыдущего пункта, если прожиточный минимум равен 110 зайчикам?
з)
На основе ваших ответов на два предыдущих пункта объясните, почему программы помощи бедным в развивающихся странах иногда имеют только краткосрочный положительный эффект.
Решение
а) Доходы детей Анны, Бориса и Виктории равны 18, 20 и 23 тугрикам соответственно. Значит, доходы их внуков будут равны 15, 20 и 28. Для того, чтобы узнать значение доходов 100 поколений спустя, достаточно заметить, что через 6 поколений у потомков Анны доход будет равен 0 и останется таким же из поколения в поколение. У потомков Бориса доход не меняется из поколения в поколение, поэтому даже через 100 поколений он будет равен 20 тугрикам. Через 7 поколений у потомков Бориса доход станет равен 100 тугрикам и останется неизменным в дальнейшем. б) Чтобы уровень дохода не менялся из поколения в поколение, необходимо и достаточно чтобы доход детей равнялся доходу родителей. Тогда стационарные состояния дохода — это 0, 20 и 100 тугриков. Для решения дальнейших пунктов удобно обратиться к Рисунку ниже. Красная линия — это линия $y=x$, синяя линия отражает зависимость доходов родителей от доходов детей. в) Воспользуемся наблюдением из предыдущего пункта. В обозначениях, используемых в задаче, необходимо, чтобы $y=x$, то есть равенство дохода детей доходу родителей. Рассмотрев по участкам систему уравнений, состоящую из зависимости, обозначенной в условии задачи, и $y=x$, находим стационарные значения дохода — это 0, 30, 100 и 130 тугриков. г) Дети будут зарабатывать $15^2/30=7.5$, внуки будут зарабатывать $7.5^2/30=1.875$, а правнуки — $1.875^2/30=15/128$. Из поколения в поколение доход сокращается и в долгосрочном периоде будет стремиться к нулю. Математически подкованные конкурсанты могли воспользоваться знанием пределов, но это не было обязательным. д) Воспользуемся Рисунком и ответом на пункт (в). При стационарных значениях $a$ (0, 30, 100, 130) доход всех будущих поколений равен $a$. Заметим, что при $a \in (0; 30)$, доход детей будет меньше дохода родителей, потому что синяя линия ниже красной (более формально, можно сказать о выпуклой вниз функции). Доходы следующих трёх поколений равны $a^2/30$, $a^4/27000$ и $a^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к нулю. При $a \in (30; 100)$ доход детей равен $30$, а затем доход стабилизируется на этом уровне, поскольку это стационарное состояние дохода. При $a \in (100; 130)$ доходы следующих трёх поколений равны $100+(a-100)^2/30$, $100+(a-100)^4/27000$ и $100+(a-100)^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к 100. При $a>130$ синяя линия лежит выше красной — это значит, что доходы детей превышают доходы родителей. Доходы следующих трёх поколений равны $(a-100)^2/30$, $(a-100)^4/27000$ и $(a-100)^8/21 870 000 000$ соответственно. В долгосрочном периоде доход будет бесконечно и неограниченно расти. е) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы $S \geq 30-m$. Заметим, что если доход детей будет не менее 30, то доход всех будущих поколений также не опустится ниже 30 ж) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы $S \geq 130-m$, потому что остальные уровни дохода в долгосрочном периоде приводят к доходу не более 100. Заметим, что теперь возможна ситуация, при которой индивида не будут бедными, а внуки — будут. В качестве примера рассмотрим $m=100$, $S=20$. Доход детей равен $113 \dfrac{1}{3}$, в то время как доход внуков равен $105 \dfrac{25}{27}$ з) Следуя логике модели, программы помощи бедным могут быть неэффективны в долгосрочном периоде, потому что размер предоставленной помощи недостаточен для того, чтобы человек выбрался из «ловушки бедности» — ситуации, при которой индивид не может преодолеть бедность, потому что текущая бедность приводит к будущей бедности. О ловушке бедности можно узнать подробнее в статье из проекта РЭШ GURU.Словарь . Примечание: Разбалловка по пунктам: (а) - 2 балла, (б) - 1 балл, (в) - 2 балла, (г) - 2 балла, (д), (е), (ж) - по 6 баллов, (з) - 3 балла.