КПВ барона Мюнхгаузена
Барон Мюнхгаузен торгует полетами на ядре. У него есть пушка, запускающая ядро со скоростью $\mathcal{V}$ и позволяющая выбрать любой угол $0°\leqslant\alpha\leqslant90°$. Плату барон принимает следующим образом: в любой выбранной им точке полета он подсчитывает координаты $x$ и $y$ и берёт плату равную $P_x x + P_y y$. Известно, что ускорение свободного падения составляет $g$.
Подпункты
а)
Найдите предложение $x$ со стороны Мюнхгаузена в зависимости от $p=\dfrac{P_x}{P_y}$.
б)
Пусть на рынке сложились цены $P_x=6$, $P_y=8$. Сколько максимально барон готов заплатить за увеличение скорости своей пушки с $\mathcal{V}=10$ до $\mathcal{V}_1=30$, если известно, что $g=10$?
Решение
1) Вспомним уравнения движения: $$
\begin{cases} x=\mathcal{V}\cos\alpha t \\ y=\mathcal{V}\sin\alpha t- \dfrac{gt^2}{2} \end{cases}
$$ Выразив $t=\dfrac{x}{\mathcal{V}\cos\alpha}$ и подставив в выражение для $y$ получим $$ y=x\tan\alpha - \dfrac{gx^2}{2\mathcal{V_0}^2\cos^2\alpha} \\ $$ $$ y=x\tan\alpha - \ \dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}\left(1+\tan^2\alpha\right) $$ КПВ барона - кривая, для которой при каждом $x$ максимально значение $y$. Заметим, что если $x$ фиксирован, то $y(x, \tan\alpha)$ это парабола ветвями вниз относительно $\tan\alpha$, и она достигает своего максимального значения при $\tan\alpha=\dfrac{\mathcal{V}^2}{gx}$ Подставив уже эту формулу в выражение для $y$ получим, после преобразований: $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} $$ Заметим, что функция обращается в 0 при $x^{*}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{g}$, а производная в этой точке равна $f'(x^{*})=-\dfrac{gx^{*}}{\mathcal{V}^2}=-1$. Теперь нетрудно получить предложение, используя формулу $$ f'(x)=-\dfrac{P_x}{P_y}=-p $$ $$ x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g} $$ $$
x^{s}= \begin{cases} \dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}, \:\:\:\: 0\leqslant p\leqslant 1\\ \dfrac{\mathcal{V}^2}{g}\:\:\:\: p>1 \end{cases}
$$ 2) Подставив $x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}$ в выражение для y, получим $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{g\left(\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}\right)^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(1-p^2) $$ Тогда выручка барона составит $$ TR=xP_x+yP_y=\dfrac{P_x \mathcal{V}^2}{P_y g}P_x+\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(P_y-\dfrac{P_x ^2}{P_y}) $$ При $P_x =6,\; P_y=8,\; \mathcal{V}=10$ выручка составит 62,5, а при изменении скорости до $\mathcal{V}=30$ и неизменных ценах она составит 562,5, откуда максимальная готовность платить составит $562,5-62,5=500$. Ответ: 1) $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} $$ 2) 500.
\begin{cases} x=\mathcal{V}\cos\alpha t \\ y=\mathcal{V}\sin\alpha t- \dfrac{gt^2}{2} \end{cases}
$$ Выразив $t=\dfrac{x}{\mathcal{V}\cos\alpha}$ и подставив в выражение для $y$ получим $$ y=x\tan\alpha - \dfrac{gx^2}{2\mathcal{V_0}^2\cos^2\alpha} \\ $$ $$ y=x\tan\alpha - \ \dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}\left(1+\tan^2\alpha\right) $$ КПВ барона - кривая, для которой при каждом $x$ максимально значение $y$. Заметим, что если $x$ фиксирован, то $y(x, \tan\alpha)$ это парабола ветвями вниз относительно $\tan\alpha$, и она достигает своего максимального значения при $\tan\alpha=\dfrac{\mathcal{V}^2}{gx}$ Подставив уже эту формулу в выражение для $y$ получим, после преобразований: $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} $$ Заметим, что функция обращается в 0 при $x^{*}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{g}$, а производная в этой точке равна $f'(x^{*})=-\dfrac{gx^{*}}{\mathcal{V}^2}=-1$. Теперь нетрудно получить предложение, используя формулу $$ f'(x)=-\dfrac{P_x}{P_y}=-p $$ $$ x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g} $$ $$
x^{s}= \begin{cases} \dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}, \:\:\:\: 0\leqslant p\leqslant 1\\ \dfrac{\mathcal{V}^2}{g}\:\:\:\: p>1 \end{cases}
$$ 2) Подставив $x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}$ в выражение для y, получим $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{g\left(\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}\right)^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(1-p^2) $$ Тогда выручка барона составит $$ TR=xP_x+yP_y=\dfrac{P_x \mathcal{V}^2}{P_y g}P_x+\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(P_y-\dfrac{P_x ^2}{P_y}) $$ При $P_x =6,\; P_y=8,\; \mathcal{V}=10$ выручка составит 62,5, а при изменении скорости до $\mathcal{V}=30$ и неизменных ценах она составит 562,5, откуда максимальная готовность платить составит $562,5-62,5=500$. Ответ: 1) $$ y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} $$ 2) 500.