Электроники-11

а) Докажем сначала три вспомогательных утверждения. Утверждение 1. Нет смысла продавать энергию по ценам, отличным от 16 и 12. Действительно, если поставить цену из множества $P\in [0;12)\cap (12;16)$, то повышение цены не уменьшит спрос, то есть выручка увеличится без изменения издержек, а значит, увеличится прибыль. Утверждение 2. Нет смысла продавать более 1000 тыс. единиц продукции. Допустим, мы продали больше 1000 тыс. единиц продукции. Это значит, что мы продаем товар обоим покупателям и используем оба источника при производстве (собственное производство и закупки). Тогда, если мы продадим администрации на одну тыс. единиц меньше, отказавшись от закупки этой тысячи у фирмы «Элекироник- А », то наша прибыль увеличится на 3. Утверждение 3. Нет смысла закупать электроэнергию у фирмы «Электроник-А». Поскольку мы продаем не более 1000 тыс. единиц продукции, мы можем произвести их все самостоятельно, понеся издержки $TC(q)=2000+10q$ тыс. руб. Если же мы будем закупать энергию в другом городе (сэкономив 2000 тыс. рублей, но заплатив больше за каждую единицу), то издержки составят $15q$ тыс. Нетрудно убедиться, что закупки извне оправданы только при $q\le 400$, но это не может быть оптимальным объемом продаж, так как производственная фирма готова купить 500 единиц по цене 16, что превышает издержки в любом случае. Поскольку готовность платить каждого покупателя не убывает по цене, нужно назначить каждому из них ту максимальную цену, которую он готов платить: производственной фирме $P_1=16$, а администрации $P_2=12$. При этом из доказанного выше следует, что мы должны произвести всю энергию сами и продать ее производственной фирме и администрации. Поскольку обе цены превышают предельные издержки, ясно, что нужно произвести так много энергии, как это возможно — 1000 тыс. единиц, и продать 500 из них по максимальной цене $P_1$, а остальные — по цене $P_2$. Прибыль, которую можно получить таким образом, равна 2000 тыс руб. б) Рассмотрим оптимальное поведение фирмы «Электроник- N » в зависимости от цены $P_A$, по которой фирма «Электроник- A » будет продавать ей энергию. Если $P_A<12$, то фирма «Электроник- N » захочет купить «Электроник- A » все 1300 тыс. единиц, которые она может продать. Это следует, во-первых, из того, что 1300 тыс. единиц можно продать по цене не меньше 12 (значит, она захочет продать все), а кроме того, даже производство всех возможых 1000 тыс. единиц на своих мощностях не окупит связанных с этим квазипостоянных издержек: $2000+10\times 1000>P_A\times 1000$. Если $P_A=12$, то фирме «Электроник- N » без разницы, закупать 1000 тыс. единиц или производить самостоятельно. При этом она может продать 500 тыс. единиц по цене 16 производственной фирме, а также любое количество энергии администрации города N . Таким образом, спрос фирмы «Электроник- N » на продукцию фирмы «Электроник- A » будет иметь следующий вид (в тысячах единиц): $$Q= \begin{cases} 0, & \text{если } P_A>12; \\ 1300, & \text{если } 0 \le P_A \le 12. \end{cases}$$ Прибавив к этому спрос, предъявляемый администрацией города A , получим $$ Q= \begin{cases} 0, & \text{если } P_A>15; \\ 1000, & \text{если } 12 < P_A \le 15; \\ 2300, & \text{если } 0 \le P_A \le 12. \end{cases}$$ Фирма A может либо назначить цену 15 и получить прибыль $(15 -7)\times 1000 = 8000$ тыс. руб., либо назначить цену 12 и получить прибыль $(12-7)\times 2300 = 11500$ тыс. руб. Предпочтительнее второй вариант. в) Функция спроса, с которой столкнется фирма «Электроник- A » при таком развитии событий, имеет вид: $$ \begin{cases} 0, & \text{если } P>16; \\ 500, & \text{если } 15 < P \le 16;\\ 1500, & \text{если } 12 < P \le 15; \\ 2300, & \text{если } 0 \le P \le 12. \end{cases}$$ Сравним прибыли при различных ценах: $P$ $\pi$ 16 $(16-7)\times 500 = 4500$ 15 $(15-7)\times 1500 = 12000$ 12 $(12-7)\times 2300 = 11500$ Цена 15 приносит наибольшую прибыль, которая на 500 больше, чем в случае без взятки. Значит, максимальная взятка равна 500. Критерии Решения, приводимые участниками, могут отличаться от приведенного выше (например, вряд ли стоит ждать от них предварительного доказательства приведенных утверждений), но проверяющий должен определить, какие необходимые шаги выполнены в решении, а какие нет а) (10 баллов) Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 1 , он получает 2 балла. Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 2 , он получает 3 балла. Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 3 , он получает 3 балла. Верный ответ оценивается в 2 балла б) (10 баллов) Если правильно найдена пограничная точка спроса фирмы «Электроник- N » ($P_A=12$), то ставится 4 балла. Еще 6 баллов ставится за корректную функцию спроса на продукцию фирмы «Электроник- A » и выбор оптимальной цены. Из них: \item 4 балла, если построен корректный спрос, включая точку $P_A=15$. \item 2 балла за сравнение вариантов цен, которые участник не получит, если допустил арифметическую ошибку, повлиявшую на результат сравнения. За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл. в) (5 баллов) Правильная функция спроса оценивается в 2 балла. Правильный расчет прибылей оценивается в 1 балл. Сравнение прибылей и верный ответ про взятку оценивается в 2 балла. Политика относительно арифметических ошибок аналогична пункту б).