Свежая выпечка
В деревне А живёт 10 серьёзных пекарей, одна половина из которых умеет печь только пироги, а другая – только ватрушки. За день каждый «пирожник» может испечь 20 пирогов, а каждый «ватрушечник» – 20 ватрушек. В соседней деревне В живёт 10 весёлых пекарей, каждый из которых может испечь за день 12 пирогов или 8 ватрушек. Жители обеих деревень одинаково ценят и пироги, и ватрушки, поэтому они заинтересованы в максимальном количестве единиц выпечки, независимо от её вида. Вся свежая выпечка съедается в тот же день. А) Сколько пирогов и ватрушек будут выпекать в день в каждой деревне? В городе на ярмарке одна ватрушка стоит 4 монеты, а один пирог - 5 монет. Каждая деревня хочет, чтобы у жителей было как можно больше выпечки, но свободных денег в деревнях нет, получить наличность можно, только продавая свои продукты на ярмарке. (Продаётся и покупается только свежая выпечка, то есть то, что можно испечь за один день). Б) Сколько пирогов и ватрушек предложит на продажу каждая деревня? В) Какую выгоду принесёт торговля каждой деревне?
Решение
Определим производственные возможности каждой деревни. А) (10 баллов) В деревне А. ресурсы не являются взаимозаменяемыми, поэтому единственная возможная комбинация продуктов при эффективном использовании ресурсов: $100$ пирогов и $100$ ватрушек. Т.е. максимальный объем выпечки, который они способны произвести собственными силами составляет $200$ ед. в день. В деревне Б. ресурсы, наоборот, взаимозаменяемы, поэтому все комбинации продуктов при эффективном использовании ресурсов лежат на кривой производственных возможностей (см. рисунок, уравнение КПВ:$y=-2/3x+80$). Максимальный объем выпечки можно получить, если все ресурсы направить на производство пирогов: $120$ ед. Б и В) (15 баллов) Деревня А. не может изменить производство выпечки за счет перераспределения внутренних ресурсов, поэтому ей выгоднее продавать дорогой товар и покупать дешевый.Продав все пироги ($100$ шт.), деревня А. получит $500$ монет и сможет дополнительно купить $125$ ватрушек. Итого, жители деревни А. получат $225$ ватрушек ($100$ шт. своих и $125$ шт. покупных), т.е. выгода от торговли составит $25$ ед. выпечки. Чтобы решить, что выгодно продавать, а что покупать деревне Б., нужно сравнить внутренний и внешний курсы обмена товаров. Внутренний курс равен альтернативной стоимости производства: $1$ пирог $= 2/3$ ватрушки. Внешний курс определяется рыночными ценами: $1$ пирог = $5/4$ ватрушки. Внешний курс для пирогов гораздо лучше внутреннего, поэтому пироги выгоднее продавать на рынке (получая $120\times 5 = 600$ монет), а на вырученные деньги покупать ватрушки ($600/4 = 150$ ватрушек). Выгода от торговли составит $150 -120 = 30$ ед. выпечки. Критерии: А) 10 баллов Если половина пункта неверна (например, отвечают, что в деревне Б произведут $48$ ватрушек и $48$ пирогов, или же им будет без разницы, что производить – $120$ пирогов или $80$ ватрушек) – 5 баллов Б) и В) 15 баллов Заметим, что на продажу можно выставить хоть всю продукцию, однако это будет нерационально, т.к. продав все, деревня должна будет что-то купить (иначе она получит нулевую полезность). Соответственно, если написан критерий, которым деревня будет руководствоваться при продаже – 10 баллов. - Если нет никаких расчетов в пункте А – 10 баллов. - Если ответ на пункт А правильный, а в пунктах Б и В все выставлено на продажу и посчитана выручка – 15 баллов. Примечание: - Выгода деревень – это количество выпечки, а не доход в монетах. - Деревням необязательно торговать друг с другом. Любое количество любой выпечки можно купить и продать на ярмарке. Если участник олимпиады не понял условие, и решил, что деревни торгуют только друг с другом, но логика и рассуждения были верны, то за такое решение ставилось до 20 баллов.