Китайский фермер
Китайский фермер Жуй Рис Сам потребляет только грибы, которые находит в лесу, и рис, который сам выращивает. В лесу всегда есть достаточное количество грибов, позволяющее фермеру не умереть с голоду, даже если он не потребляет рис совсем. Засеяв $k_t$ тонн риса весной в году $t$, он осенью того же года получает $y_t=24\sqrt{k_t}$ тонн такого же риса в качестве урожая. Из него фермер долю $s$ ($0\le s\le 1$) оставляет на посев на следующую весну (инвестирует), а остальное съедает в течение года. Известно, что молодой Жуй Рис Сам начал свою деятельность в 1982 году, посеяв 1 тонну риса, полученную в наследство от отца (иными словами, $k_{1982}=1$).
Подпункты
а)
Пусть $s=1/4$. Как будет меняться производство фермером риса с годами? К каким количествам будут стремиться его производство и потребление риса в старости?
б)
Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если $s=2/3$.
в)
Предположим, что китаец в 1982 году выбрал долю $s$ так, чтобы максимизировать свое производство риса в старости. Какое $s$ он выбрал?
г)
Ответьте на вопрос предыдущего пункта, если Жуй Рис Сам выбрал долю $s$ так, чтобы максимизировать не производство, а свое потребление риса в старости. Сравните результат с предыдущим пунктом и дайте содержательное экономическое объяснение отличию двух уровней инвестиций.
д)
Предположим, что величина $s$ соответствует результату предыдущего пункта, а страна состоит из полутора миллиардов фермеров, точно таких же, как Жуй Рис Сам. Все они одновременно посеяли по тонне риса в 1982 году, а дальше вели себя в соответствии с моделью, описанной в задаче. Когда все фермеры достигли старости, они обнаружили, что рост ВВП на душу населения в стране прекратился. Что должно произойти, чтобы он возобновился не в ущерб потреблению фермерами риса?
Решение
Поскольку $k_{t+1}=s\times 24\sqrt{k_t}$, изменение производства между годами $t$ и $t+1$ можно посчитать как $y_{t+1}-y_t=24\sqrt{s\times 24\sqrt{k_t}}-24\sqrt{k_t}$. Легко убедиться, что эта величина будет положительной при $k_t<(24s)^2$. Уровень $k_{1982}=1$ соответствует этому условию, значит, сначала производство риса будет расти. Так что $k_t$ будет приближаться к уровню $(24s)^2$ по мере роста $t$, а если когда-либо станет ему равно, изменение выпуска станет равно 0 и меняться больше не будет. Действительно, при $k_t=(24s)^2$ выпуск в году $t+1$ будет равен выпуску в году $t$, а значит, не поменяется и уровень инвестиций ($k_{t+1}=k_t$), а значит, выпуск не поменяется и в году $t+2$ и т. д. Получаем, что производство в старости будет очень близко или равно $y^*=24\sqrt{(24s)^2}=576s$, а потребление $c^*=y^*\times (1-s)=576s\times(1-s)$. а) Подставляя $s=1/4$ в эти результаты, получаем $y^*=576/4=144$, $c^*=144\times 3/4= 108$. б) Подставляя $s=2/3$, получаем $y^*=576\times 2/3=384$, $c^*=384/3= 128$. в) Функция $y^*=576s$ является возрастающей по $s$, значит, для максимизации выпуска нужно выбирать максимально возможное значение аргумента: $s=1$. Если можно питаться только грибами ($s=1$), то и отлично: чем больше риса мы оставляем каждый год на посев, тем больше его получается в следующем году. г) $c^*=576s\times(1-s)$ — квадратичная парабола с ветвями вниз, она достигает максимума при $s=1/2$. Чтобы максимизировать производство, в предыдущем пункте нужно было как можно больше инвестировать и как можно меньше потреблять. Однако если выбор между потреблением риса и инвестициями делается только в пользу инвестиций, то это производство ради производства: потребляться рис никогда не будет. Значит, чтобы потреблять в старости больше, нужно инвестировать не весь собранный рис, а определенную его часть. д) Если $s=1/2$, то максимальный уровень производства каждого фермера равен $y^*=576/2=288$. Если выбрать другой $s$ (увеличить его, чтобы выросло производство), то потребление риса в долгосрочном периоде уменьшится, так что от роста не будет никакой радости. $k=144$ также изменить нельзя: в долгосрочном периоде оно всё равно вернется к $(24s)^2$. Рост числа фермеров не увеличит ВВП на душу населения . Остается только один источник роста — улучшение технологии благодаря техническому прогрессу. Мораль: на стадии накопления капитала страна может расти и без инноваций, но когда капитал достигнет какого-то стабильного уровня — только с ними.