Отсутствие арбитража
В этой задаче нет ни акций, ни опционов, но в каждом сюжете возникает та же конструкция: набор допустимых обменов и вопрос о том, можно ли, вернувшись в исходное положение, остаться в выигрыше.
Аня и Боря делят пирог, состоящий из трёх частей: шоколадной, ягодной и ореховой. Каждый из них оценивает весь пирог в 100 условных единиц, но распределяет эту оценку по частям по-своему: Аня оценивает шоколадную часть в 50, ягодную в 30, ореховую в 20, а Боря — соответственно в 20, 30 и 50. Оценка любого набора кусков равна сумме оценок входящих в него частей, а при разрезании части ценность делится пропорционально размеру.
Делят так: один разрезает пирог на две доли, второй выбирает себе любую из них.
- а)
Пусть режет Аня. Укажите разрез, при котором обе доли имеют для неё одинаковую ценность, и определите, какую долю выберет Боря и во сколько единиц он её оценит. Проделайте то же самое для случая, когда режет Боря.
- б)
Объясните, за счёт чего выбирающий получает больше половины пирога по собственной оценке. Что произошло бы, если бы оценки Ани и Бори совпадали?
Аня, Боря и Витя снимают втроём квартиру с тремя комнатами за 90 тыс. руб. в месяц. Каждый занимает ровно одну комнату, и вся арендная плата распределяется между ними: если комнаты стоят $p_1$, $p_2$ и $p_3$, то $p_1 + p_2 + p_3 = 90$. Отрицательные цены не запрещены.
Максимальные суммы, которые каждый готов платить за каждую комнату, приведены в таблице в тыс. руб. в месяц.
Комната 1 Комната 2 Комната 3 Аня 50 40 30 Боря 45 50 25 Витя 40 30 35 Выгода жильца равна разности между его оценкой доставшейся комнаты и её ценой. Распределение называется устойчивым, если ни один жилец не увеличил бы свою выгоду, переехав в чужую комнату по её цене.
- в)
Пусть Аня заняла первую комнату, Боря — вторую, Витя — третью. Выпишите все неравенства, которым должны удовлетворять цены, чтобы распределение было устойчивым, и найдите какой-нибудь набор цен, удовлетворяющий им.
- г)
Найдите все наборы цен, при которых это распределение устойчиво.
- д)
(*) Пусть теперь Аня заняла вторую комнату, Боря — первую, Витя — третью. Докажите, что устойчивых цен для такого распределения не существует. Укажите двоих жильцов, которым выгодно поменяться комнатами, и объясните, чем такой обмен похож на арбитражную сделку.
- е)
(*) Для каждого из шести возможных распределений комнат вычислите сумму оценок жильцов по занятым ими комнатам. Сопоставьте результат с ответами пунктов В) и Д) и сформулируйте предположение о том, при каких распределениях устойчивые цены существуют.
Коллекционер собирает значки трёх видов: $A$, $B$ и $C$. Он готов отдать значок $A$ и доплатить 10 руб., чтобы получить взамен значок $B$; отдать $B$ и доплатить 15 руб. за $C$; отдать $C$ и доплатить 20 руб. за $A$. Знакомый готов совершать с ним любые из этих обменов сколько угодно раз.
- ж)
(*) Сколько денег потеряет коллекционер после трёх обменов подряд, начав со значка $A$? Каким будет его набор значков после этого?
- з)
(*) Обозначим через $d_{XY}$ доплату, на которую коллекционер согласен при обмене значка $X$ на значок $Y$. Докажите, что бесконечное изъятие денег у знакомого невозможно тогда и только тогда, когда существуют такие числа $v_A$, $v_B$, $v_C$, что $d_{XY} = v_Y - v_X$ для всех трёх обменов. При каком значении $d_{CA}$ это выполнено для данных задачи? Найдите соответствующие числа $v_A$, $v_B$, $v_C$ и объясните, чем они являются по смыслу.
- и)
(*) В каждом из трёх сюжетов задачи укажите, что играет роль набора торгуемых инструментов, что — роль цен и что — роль условия отсутствия арбитража.