Черно-белый мультипликатор
В государстве Шахматная Федерация живут черные и белые. Белые тратят на потребление долю $x$ своих дополнительных доходов, а черные — долю $y$. Государственные заказы размещаются поровну между двумя группами.
Подпункты
а)
Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы белых, а черные — исключительно в доходы черных. Найдите величину мультипликатора государственных закупок.
б)
Допустим, белые экономические агенты обращают свои расходы исключительно в доходы черных, а черные — исключительно в доходы белых. Найдите величину мультипликатора государственных закупок в этом случае.
в)
В каком из двух рассмотренных случаев значение мультипликатора государственных закупок больше? Зависит ли ваш ответ от конкретных значений предельных норм потребления двух групп?
Решение
(а) В первом случае мы по сути имеем две изолированные области экономики, в каждой из которых процесс мультипликации идет так же, как и в стандартной модели, в которой мультипликатор госзакупок равен $\frac{1}{1-mpc}$. Поэтому если увеличить госзакупки на 1 единицу, то половинка пойдет к белым, и там она превратится в $\frac{0{,}5}{1-x}$ единиц ВВП, а половинка к черным, и там она превратится в $\frac{0{,}5}{1-y}$ единиц ВВП. Суммарный прирост выпуска при увеличении госзакупок на единицу составит $mult_G=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$. (б) Здесь все интереснее — две области экономики становятся взаимосвязанными. Половинке единицы госзакупок, которая пошла к белым, будет суждено «прыгать» от белых к черным и обратно, и в итоге она превратится в прирост выпуска, равный $0,5(1 + x + xy + {x^2}y + {x^2}{y^2} + {x^3}{y^2} + \ldots) =\\= 0,5(1 + x + xy(1 + x) + {x^2}{y^2}(1 + x) + \ldots) =\\=0,5(1 + x)(1 + xy + {x^2}{y^2} + \ldots) = \frac{{0,5(1 + x)}}{{1 - xy}}.$ Аналогично, половинка, которая пошла к черным, превратится в $\frac{0{,}5(1 + y)}{1 - xy}$. Значит, необычный мультипликатор будет равен $mullt_G = \frac{{0,5(1 + x)}}{{1 - xy}} + \frac{{0,5(1 + y)}}{{1 - xy}} = \frac{{2 + x + y}}{{2(1 - xy)}}.$ (в) Нам нужно сравнить величины $\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$ vs. $\frac{{2 + x + y}}{{2(1 - xy)}}$, если $x$ и $y$ — положительные числа, меньшие единицы. Удивительно, но между этими величинами неравенство всегда выполнено в одну и ту же сторону, независимо от конкретных значений норм потребления. После домножения обеих сравниваемых величин на знаменатели и раскрытия скобок большинство слагаемых взаимно уничтожаются, и остается симпатичное сравнение ${x^2} + {y^2}$ vs. $2xy$ ${(x - y)^2} \ge 0$ Таким образом, левая часть всегда не меньше правой, а значит в пункте (а) мультипликатор госзакупок всегда будет не меньше, чем в пункте (б). Равенство же достигается, как видим, только при $(x-y)^2=0$, то есть при $x=y$, что понятно — если нормы потребления одинаковы, то с точки зрения процесса мультипликации две группы идентичны, и поэтому в пунктах (а) и (б) результаты должны быть одинаковы. Ответ: (а) $mult_G = \frac{1}{{2(1 - x)}} + \frac{1}{{2(1 - y)}};$ (б) $mult_G = \frac{{2 + x + y}}{{2(1 - xy)}};$ (в) при любых значениях предельных норм потребления мультипликатор в пункте (а) не меньше, чем мультипликатор в пункте (б).